圓形隧道斷面檢測(cè)數(shù)據(jù)擬合新方法＊

谷 川 秦世偉

(1)上海市政工程設(shè)計(jì)研究總院,上海 200092 2)上海大學(xué)土木工程系,上海 200072)

圓形隧道斷面檢測(cè)數(shù)據(jù)擬合新方法＊

谷 川1)秦世偉2)

(1)上海市政工程設(shè)計(jì)研究總院,上海 200092 2)上海大學(xué)土木工程系,上海 200072)

針對(duì)圓形隧道斷面檢測(cè)數(shù)據(jù)擬合算法存在的不足,提出一種新的數(shù)據(jù)擬合算法。該算法首先對(duì)所有的觀測(cè)點(diǎn)進(jìn)行平面擬合,而后將所有的觀測(cè)點(diǎn)進(jìn)行球殼擬合,該球殼的球心必須位于擬合的平面內(nèi),并且在擬合的流程中加入粗差檢驗(yàn)。該方法避免了坐標(biāo)投影、坐標(biāo)轉(zhuǎn)換、迭代計(jì)算等復(fù)雜操作,可以直接得到空間圓的圓心、半徑等參數(shù)。該模型可靠,擬合精度高,實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)便,節(jié)省計(jì)算資源,是一種良好的圓形隧道斷面擬合算法。

斷面檢測(cè);圓形隧道;平面擬合;球殼擬合;粗差檢驗(yàn)

1 引言

隨著現(xiàn)代城市的發(fā)展,軌道交通建設(shè)正在發(fā)生日新月異的變化,地鐵由于其相對(duì)獨(dú)特的優(yōu)點(diǎn),正越來越被人們認(rèn)可。所以,地鐵隧道的安全性要求也越來越高,如何保證地鐵列車在隧道中安全運(yùn)行成為了軌道交通管理部門所面臨的首要任務(wù)。由于長(zhǎng)時(shí)間的運(yùn)行,同時(shí)大多數(shù)地鐵隧道上方都是高層建筑,地鐵隧道難免會(huì)發(fā)生一些變形,必須時(shí)刻掌握這些變形,并保證其處于安全范圍之內(nèi),才能保證地鐵列車的安全通行。

目前已有的方法多是首先對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行平面擬合,將觀測(cè)點(diǎn)投影到擬合平面上,采用坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的方式將三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到平面內(nèi),基于點(diǎn)到圓心的距離與半徑之差的平方和最小的原則,在平面內(nèi)進(jìn)行平面圓的擬合得到圓心和半徑,將平面圓的圓心經(jīng)過坐標(biāo)反算轉(zhuǎn)換到原坐標(biāo)系中,得到空間圓的圓心[1-3]。應(yīng)用該方法進(jìn)行空間圓的擬合是可行和有效的,然而,其算法中涉及到坐標(biāo)投影、兩次坐標(biāo)轉(zhuǎn)換,平面圓擬合時(shí)對(duì)非線性的處理需要迭代等,原理比較復(fù)雜,實(shí)現(xiàn)起來比較繁瑣。

文獻(xiàn)[4]提出了一種采用空間平面和球殼相交的方法擬合空間圓,但由于沒有對(duì)球殼進(jìn)行限制,測(cè)點(diǎn)沿平面法線方向的誤差對(duì)球殼方程的擬合擾動(dòng)很大,抗差性不強(qiáng);而且在擬合得出球殼的球心和半徑等參數(shù)后,還需要進(jìn)一步的計(jì)算才能得到空間圓的圓心、半徑等參數(shù),方法不夠直接有效;此外,對(duì)于所有的觀測(cè)點(diǎn)均位于同一空間圓上的特殊情況,理論上會(huì)得到無數(shù)組的解。

基于以上幾點(diǎn)考慮,作者對(duì)現(xiàn)有方法進(jìn)行了改進(jìn),提出了圓形隧道斷面檢測(cè)數(shù)據(jù)擬合新方法。該方法首先擬合得出觀測(cè)點(diǎn)所在的空間平面,而后在球心坐標(biāo)位于擬合平面內(nèi)的約束下擬合空間球殼,得到的球心坐標(biāo)和球殼半徑即為空間圓的圓心坐標(biāo)和半徑。

2 隧道斷面檢測(cè)外業(yè)測(cè)量

對(duì)隧道斷面的檢測(cè)首先要保證測(cè)量斷面位置正確,這樣才可以和該斷面的設(shè)計(jì)斷面類型進(jìn)行比對(duì),其次要保證所測(cè)量的斷面位于該里程點(diǎn)的法線方向,并且同時(shí)還要考慮縱斷面方向的影響,所測(cè)的斷面可能并不位于垂直面內(nèi),需要根據(jù)該里程點(diǎn)的坡度進(jìn)行調(diào)整。

具體操作方式為：在需要進(jìn)行斷面測(cè)量的里程上某點(diǎn)設(shè)站,按照該里程的切線方向進(jìn)行定向,將儀器旋轉(zhuǎn) 90°到斷面法線方向,然后以免棱鏡模式進(jìn)行斷面點(diǎn)測(cè)量。如果采用的儀器為自動(dòng)全站儀,則還可以根據(jù)需要設(shè)置按照固定的角度步長(zhǎng)或者距離步長(zhǎng)進(jìn)行斷面掃描測(cè)量。

隧道斷面檢測(cè)現(xiàn)場(chǎng)數(shù)據(jù)采集情況如圖 1所示。

數(shù)據(jù)采集完成后,需要完成的工作就是對(duì)采集的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理,得到斷面特征數(shù)據(jù),例如圓心坐標(biāo)、斷面半徑等。

3 空間圓擬合新方法的模型

3.1 空間平面擬合

理論上而言,斷面測(cè)量的點(diǎn)應(yīng)該位于空間的同一個(gè)平面內(nèi),為了實(shí)現(xiàn)最終的斷面曲線擬合,首先必須找到該空間平面。但是,由于數(shù)據(jù)采集誤差 (主要指觀測(cè)點(diǎn)位置偏離檢測(cè)斷面)的存在,斷面點(diǎn)可能不完全在同一個(gè)空間平面內(nèi),則需要按照最小二乘原理剔除粗差。

圖1 隧道斷面檢測(cè)現(xiàn)場(chǎng)數(shù)據(jù)采集Fig.1 Data acquisition in tunnel section detection site

以 (Xi,Yi,Zi)T(i=1,2,…,n)表示觀測(cè)點(diǎn)坐標(biāo),則隧道斷面的平面方程可表示為:

式中(A,B,C)T為平面的法線方向單位矢量,為了唯一確定該單位矢量,可令A(yù)＞0;若 A=0,則令B＞0;若A=0且B=0,則 C＞0;A、B、C不可能同時(shí)為0。

各觀測(cè)點(diǎn)到平面的距離為：

為了擬合出與觀測(cè)值最接近的平面,可令各觀測(cè)點(diǎn)至平面的距離平方和為最小,按最小二乘法則VTV=min,擬合出平面方程參數(shù) A、B、C、D。條件式為A2+B2+C2=1,對(duì)A、B、C作單位化修正。

擬合時(shí)可以根據(jù)殘差剔除數(shù)據(jù)采集粗差點(diǎn)。若某觀測(cè)量改正殘差大于限差 (如限差為 3σ,或某個(gè)設(shè)定值,或者同時(shí)滿足兩個(gè)條件),則視該觀測(cè)量為粗差點(diǎn)。剔除粗差后根據(jù)最小二乘法則重新解算待估參數(shù),找到最佳平面。本文采用同時(shí)滿足Vi＞3σ和Vi＞±1 mm兩個(gè)條件。

3.2 空間圓擬合新方法

空間平面與球殼的關(guān)系可以有如下的描述：

由于空間圓可由一個(gè)空間球殼與一個(gè)空間平面相交來描述。因此,可將觀測(cè)數(shù)據(jù)分別擬合成一個(gè)平面和一個(gè)空間球殼,用平面和空間球殼相交表示該空間圓。即：

平面唯一,但是,球殼卻可以有無窮多個(gè),只要球殼的半徑 R滿足:

式中,d為球心到平面的距離,r為空間圓的半徑。

為了使球殼唯一,可對(duì)其進(jìn)行限制。本文提出將其限制為該球殼的球心位于該擬合平面上。如此,則觀測(cè)點(diǎn)沿平面法線方向的擾動(dòng)在空間圓徑向方向的方向余弦為 0,即平面擬合的誤差對(duì)球殼擬合沒有影響。

該方法的原理如圖 2所示。

圖2 空間圓擬合原理示意圖Fig.2 Sketch of principle of space circle fitting

空間圓的表達(dá)方式為：

3.3 空間球殼擬合方法

球殼一般方程式為：

展開得：

誤差方程線性化為:

也可以寫成:

式中,Ai=[XiYiZi-1],X=[dAA dBB dCC dDD]T。

對(duì) X0、Y0、Z0加以約束,球心位于擬合平面上,

即滿足公式：

亦即：

結(jié)果表明，當(dāng)瓷介質(zhì)磨礦時(shí)，隨著pH值升高，方鉛礦礦漿電位逐漸下降。但在鐵介質(zhì)磨礦下，隨著pH值升高，方鉛礦礦漿電位先略微下降，而后逐漸上升，且兩種介質(zhì)礦漿電位的差值隨pH的升高而減小。因?yàn)楫?dāng)瓷介質(zhì)磨礦時(shí)，方鉛礦表面一直存在局部電池作用，消耗了溶解氧含量，磨礦系統(tǒng)氧化性越來越弱，導(dǎo)致礦漿電位下降。而當(dāng)鐵介質(zhì)磨礦時(shí)，不僅礦物自身氧化溶解，存在局部電池作用，鐵球介質(zhì)還會(huì)發(fā)生氧化反應(yīng)生成Fe2+和Fe3+，在低pH值情況下礦漿電位降低是兩者的綜合作用結(jié)果。但是隨著pH值的升高，鐵介質(zhì)氧化加劇，不斷生成高價(jià)鐵離子，礦漿電位又會(huì)迅速上升。

按照附有限制條件的間接平差解算式 (11)、(14),就可以得到 X。

反算公式為：

求得的球心坐標(biāo)即為空間圓的圓心坐標(biāo),球殼半徑即為空間圓的半徑。

擬合時(shí)可以根據(jù)殘差剔除測(cè)量粗差點(diǎn),若某觀測(cè)量改正殘差大于限差 (如限差為 3σ,或某個(gè)設(shè)定值,或者同時(shí)滿足兩個(gè)條件),則視該觀測(cè)量為粗差點(diǎn)。剔除粗差后根據(jù)最小二乘法則重新解算待估參數(shù)。

采用本文的方法進(jìn)行圓形隧道斷面檢測(cè)數(shù)據(jù)擬合的數(shù)據(jù)處理流程見圖 3。

圖3 數(shù)據(jù)處理流程Fig.3 Flow of data processing

3.4 初值的確定

好的初始值能夠使計(jì)算更加精確,現(xiàn)給出初始值確定的方法。

4 算例

某隧道斷面檢測(cè)現(xiàn)場(chǎng)采集的數(shù)據(jù)如表 1。

采用 3種方法進(jìn)行擬合,并且對(duì)擬合結(jié)果進(jìn)行比較和分析。

方法Ⅰ為文獻(xiàn)[1-3]中的方法,方法Ⅱ?yàn)槲墨I(xiàn)[4]中的方法,方法Ⅲ為本文方法。

每種方法平面擬合的結(jié)果為：A=6.137 127× 10-9,B = -0.999 999 999 989 085,C = -4.672 165 308×10-6,D=-3.898 419 077 8× 10-5,平面擬合中誤差為:σ=0.03 mm。

1)方法Ⅰ擬合結(jié)果

擬合得到圓心坐標(biāo)為:X0=0.028 09,Y0= -0.000 01,Z0=-7.765 44,半徑 R=2.764 49,擬合中誤差σ=11.38 mm。

2)方法Ⅱ擬合結(jié)果

表 1 觀測(cè)點(diǎn)坐標(biāo)(單位:m)Tab.1 Coordinates of observed points(un it:m)

直接擬合得到球殼的方程參數(shù)為:X0= 0.028 09,Y0=2.184 92,Z0= -7.764 39,R= 2.185 09。空間圓圓心和半徑參數(shù)為:X0= 0.028 09,Y0=0.000 00,Z0= -7.765 41,R= 2.764 50,擬合中誤差σ=11.38 mm。

3)方法Ⅲ擬合結(jié)果

空間圓擬合結(jié)果為:X0=0.028 09,Y0= 0.000 00,Z0=-7.765 41,R=2.764 50,擬合中誤差σ=11.38 mm。

采用上述幾種方法進(jìn)行數(shù)據(jù)處理,得到了幾乎完全一致的計(jì)算結(jié)果,誤差在 0.1 mm以下,可認(rèn)為幾種方法等效。按照本文的粗差剔除方法,T63為粗差點(diǎn),被發(fā)現(xiàn)和剔除。在現(xiàn)場(chǎng),T63為在管壁上的一個(gè)螺帽上采集的點(diǎn)。

觀測(cè)點(diǎn)以及擬合圓弧位置的關(guān)系如圖 4所示。

圖4 觀測(cè)點(diǎn)以及擬合圓弧Fig.4 Observed points and fitted circular arc

經(jīng)過比較可以發(fā)現(xiàn),3種方法僅存在0.01 mm數(shù)位的差別,考慮到測(cè)量誤差遠(yuǎn)大于 0.01 mm,可以認(rèn)為 3種方法得到的擬合結(jié)果幾乎完全一致。但考慮到本文提出的方法無需坐標(biāo)投影、坐標(biāo)轉(zhuǎn)換、迭代計(jì)算,且擬合解穩(wěn)定,可直接得到擬合參數(shù),便于程序?qū)崿F(xiàn),節(jié)省計(jì)算資源,所以本文的方法相對(duì)已有的數(shù)據(jù)處理方法更具優(yōu)勢(shì)。

5 結(jié)論

針對(duì)圓形隧道斷面檢測(cè)數(shù)據(jù)擬合方法存在的問題,提出了一種新的數(shù)據(jù)處理算法。該方法避免了坐標(biāo)投影、坐標(biāo)轉(zhuǎn)換、計(jì)算迭代等操作,同時(shí)可以直接得到空間圓的圓心、半徑等參數(shù),方法實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)便,節(jié)省計(jì)算資源,擬合精度高,算法可靠,是一種良好的隧道斷面擬合算法。

1 王解先,趙向陽(yáng).圓形軌道變形測(cè)量[J].工程勘察,2003, 31(4)：60-61,64.(Wang Jiexian and Zhao Xiangyang. Deformation surveying of circular orbit[J].Geotechnical Investigationamp;Surveying,2003,31(4),60-61,64)

2 潘國(guó)榮,谷川,施貴剛.空間圓形物體檢測(cè)方法與數(shù)據(jù)處理[J].大地測(cè)量與地球動(dòng)力學(xué),2007,(3)：28-30. (Pan Guorong,Gu Chuan and Shi Guigang.Themethod and data processing for 3D circular object[J].Journal of Geodesy and Geodynamics,2007,(3)：28-30)

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4 潘國(guó)榮,陳曉龍.空間圓形物體數(shù)據(jù)擬合新方法[J].大地測(cè)量與地球動(dòng)力學(xué),2008,(2)：92-94.(Pan Guorong and Chen Xiaolong.A new method for 3D circular object fitting[J].Journalof Geodesy and Geodynamics,2008,(2)：92-94)

A NEW M ETHOD FOR FITTING DETECTION DATA OF C IRCULAR TUNNEL SECTION

Gu Chuan1)and Qin Shiwei2)

(1)ShanghaiM unicipal Engineering Designamp;Research General Institute,Shanghai 200092 2)Depart m ent of Civil Engineering,Shanghai University,Shanghai 200072)

Aiming at deficiencies of existing fitting algorithms for detection data of circular tunnel section,a new data fittingmethod isproposed.Firstly,allobserved points are fitted to a plane.After that,allobserved points are fitted by using a sphere modelwhose centermust be in the fitted plane.Incorrect observed data will be excluded during the fitting process.The new method can avoid coordinates projection,coordinates transfor mation and iteration calculation,etc.The parameters such as center and radius of circle can be gotten directly.The calculation model is reliable and easy to realize,which is usefull to get high fitting precision.The new algorithm takes less calculation resource so it can be considered to be a good tunnel section fitting algorithms.

section detection;circular tunnel;plane fitting;sphere fitting;error detection

1671-5942(2010)05-0097-05

2010-04-23

谷川,男,1983年生,工學(xué)博士,工程師,主要研究方向?yàn)槭姓こ虡蛩頇z測(cè)、監(jiān)測(cè).E-mail：guchuanhaha@163.com

P226+.1

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