板狀構(gòu)件的疲勞裂紋形成及疲勞壽命預(yù)估

譚文鋒，王銀海，張文志

(燕山大學(xué)，河北 秦皇島 066004)

1 概述

板狀構(gòu)件是機(jī)械工程中的常見構(gòu)件。其疲勞裂紋影響壽命，本文應(yīng)用損傷力學(xué)方法對(duì)其進(jìn)行分析。

對(duì)于一般工程構(gòu)件，疲勞失效過(guò)程一般分為裂紋形成與裂紋擴(kuò)展兩個(gè)階段。就裂紋形成階段而言，一般采用兩種分析方法。其一是完全的試驗(yàn)方法，直接通過(guò)與實(shí)際情況相同或相似的試驗(yàn)來(lái)獲取所需要的疲勞數(shù)據(jù)，這種方法雖然可靠，但成本高且費(fèi)時(shí)。其二是試驗(yàn)與統(tǒng)計(jì)經(jīng)驗(yàn)相結(jié)合的方法。這種方法利用已有的標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)結(jié)果，依照經(jīng)驗(yàn)性的當(dāng)量原則或修正辦法，對(duì)實(shí)際情況的疲勞指標(biāo)進(jìn)行估算。然而，要對(duì)千差萬(wàn)別的實(shí)際情況進(jìn)行完備的修正，必須進(jìn)行大量的統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)，這是不現(xiàn)實(shí)的。

應(yīng)力集中程度較低的平面應(yīng)力狀態(tài)板狀構(gòu)件的疲勞裂紋影響壽命問(wèn)題屬于大范圍損傷問(wèn)題。對(duì)于大范圍損傷問(wèn)題，可以與大范圍塑性問(wèn)題類似，援引經(jīng)典固體力學(xué)中關(guān)于位移與應(yīng)變模態(tài)的假設(shè)。文獻(xiàn)［1］提出并討論了大范圍損傷情況構(gòu)件疲勞裂紋形成壽命預(yù)估的方法，本文將其推廣應(yīng)用于預(yù)估平面應(yīng)力狀態(tài)下的板狀構(gòu)件的疲勞裂紋形成及疲勞壽命問(wèn)題。

2 板狀構(gòu)件疲勞裂紋形成及疲勞壽命的封閉解

假設(shè)含損傷平面應(yīng)力板狀構(gòu)件的位移場(chǎng)與具有相同形狀、相同載荷、相同約束的無(wú)損傷構(gòu)件的位移場(chǎng)是相似的。以u(píng)、v表示含損傷板狀構(gòu)件的位移分量，ue、ve表示對(duì)應(yīng)的無(wú)損傷板狀構(gòu)件的位移分量。對(duì)大范圍損傷情況，援引經(jīng)典固體力學(xué)中關(guān)于位移與應(yīng)變模態(tài)相似的假設(shè)，即令

其中，ζ為待定系數(shù)，代表含損傷構(gòu)件的廣義位移。

將式(1)代入幾何方程

可得

式中

為對(duì)應(yīng)的無(wú)損傷板狀構(gòu)件的幾何方程。

根據(jù)計(jì)及損傷耦合效應(yīng)的本構(gòu)關(guān)系［1］，可知

式中，E、v分別為彈性模量和泊松比。

將式(3)代入式(5)，得

式中

為對(duì)應(yīng)的無(wú)損傷板狀構(gòu)件的本構(gòu)方程。

下面應(yīng)用虛功原理建立含損傷板狀構(gòu)件的平衡方程，給廣義位移ζ以虛位移δζ。由式(1)含損傷板狀構(gòu)件的虛位移為

設(shè)作用于含損傷板狀構(gòu)件的體力與面力分量分別為Fx，F(xiàn)y與Tx，Ty，則外力虛功為

式中，A，ST分別為板的面積和靜力邊界。

將式(8)代入式(9)，可得

式中，P為在δξ上做功的廣義外力

內(nèi)力虛功為

將式(3)變分并代入式(12)，得

將式(6)代入式(13)中，得

式中

根據(jù)虛功原理 δWi=δWe，有

ζ[?AWdA－ ?ADWdA ] =P (16)

對(duì)于無(wú)損傷板狀構(gòu)件應(yīng)用虛功原理，容易證明

式(15)變分后代入式(16)并考慮到式(17)，得

含損傷板狀構(gòu)件內(nèi)任意點(diǎn)和臨界點(diǎn)的損傷演化方程分別為

式中，N為循環(huán)次數(shù);D、Dc分別為任意點(diǎn)和臨界點(diǎn)的損傷度;α為與循環(huán)特征有關(guān)的材料常數(shù);m為材料常數(shù)，m＞1;而ε、εc分別為任意點(diǎn)和臨界點(diǎn)的等效應(yīng)變［2］

無(wú)損傷板狀構(gòu)件的等效應(yīng)變?yōu)?/p>

由式(3)，有

由式(19)與式(22)可得

式中，εec為無(wú)損傷板狀構(gòu)件臨界點(diǎn)的等效應(yīng)變。積分式(23)，得

本文認(rèn)為材料無(wú)初始損傷，即當(dāng)N=0時(shí)，D=Dc=0。式(24)代入式(18)，得

式中

令

則由式(25)，可得

將式(28)代入式(22)，得

從而

將式(30)代入式(19)第二式，可得臨界點(diǎn)的損傷演化方程

積分式(31)，得

本文認(rèn)為材料無(wú)初始損傷，即當(dāng)N=0時(shí)，D=Dc=0。而且當(dāng)時(shí)裂紋開始形成，即Dc的積分上下限分別為0和1。其中，Ncr為裂紋形成時(shí)的循環(huán)次數(shù)，即裂紋形成壽命。

無(wú)損傷板狀構(gòu)件的臨界點(diǎn)等效應(yīng)力為

令

則式(32)可表示為

式(35)即為大范圍損傷情況下預(yù)估平面應(yīng)力板狀構(gòu)件疲勞裂紋形成及壽命Ncr的封閉解。應(yīng)用式(35)即可得到預(yù)估板狀構(gòu)件疲勞裂紋形成及壽命的計(jì)算公式

3 板狀構(gòu)件的疲勞裂紋形成及疲勞壽命預(yù)估

表1 LY12CZ鋁合金拉壓疲勞實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

采用圖1所示計(jì)算模型，其板的長(zhǎng)度為200 mm，板的厚度為2.5 mm。材料為 LY12CZ鋁合金，軸向加載，循環(huán)特征。

圖1 計(jì)算模型簡(jiǎn)圖

用ANSYS軟件以三角形常應(yīng)變單元分析無(wú)損傷線彈性應(yīng)力場(chǎng)，單元?jiǎng)澐秩鐖D2所示。得到每個(gè)單元的應(yīng)力、應(yīng)變和面積后，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)值積分可計(jì)算出I0和Im

式中，N為劃分的單元數(shù);εe(i)為單元的等效(i)為單元的應(yīng)變;A(i)為單元的面積。

由式(38)和式(39)可計(jì)算I0和Im值，代入式(27)可計(jì)算出ξ值，再由式(34)可得k值

圖2 有限元網(wǎng)格劃分示意圖

用式(36)即可計(jì)算出不同應(yīng)力對(duì)應(yīng)的疲勞裂紋影響的壽命，如表2所示。在構(gòu)件上施加循環(huán)應(yīng)力，q為分布載荷最大值，σec為臨界點(diǎn)的應(yīng)力。

表2 疲勞裂紋形成及疲勞壽命預(yù)估結(jié)果

4 結(jié)論

對(duì)于大范圍損傷平面應(yīng)力板狀構(gòu)件，采用虛功原理，得到了預(yù)估其疲勞裂紋影響壽命的封閉解答公式。對(duì)于簡(jiǎn)單構(gòu)件，可以直接用解析法求得疲勞裂紋影響的壽命。對(duì)于復(fù)雜構(gòu)件，其應(yīng)力場(chǎng)和應(yīng)變場(chǎng)可用有限元法得到。本文給出了一個(gè)較復(fù)雜構(gòu)件疲勞裂紋影響的壽命預(yù)估的算例，該方法具有普遍意義。而且計(jì)算簡(jiǎn)單、可靠。

［1］ 張行，趙軍．金屬構(gòu)件應(yīng)用疲勞損傷力學(xué)［M］．北京:國(guó)防工業(yè)出版社，1998．

［2］ 楊伯源，張義同．工程彈塑性力學(xué)［M］．北京:機(jī)械工業(yè)出版社，2003．

［3］ 譚文鋒，張文志．疲勞損傷傷演方程中材料常數(shù)的確定［J］．實(shí)驗(yàn)力學(xué)，2007，22(6):644－648．

［4］ 高鎮(zhèn)同，蔣薪桐，熊俊江．疲勞性能試驗(yàn)設(shè)計(jì)和數(shù)據(jù)處理:直升機(jī)金屬材料疲勞性能可靠手冊(cè)［M］．北京:北京航空航天大學(xué)出版社，1999．