R上自相似集的自相似測度的局部維數探討

熊 波，鄧 薇，孫 麗

(中南財經政法大學信息學院，湖北 武漢 430074)

R上自相似集的自相似測度的局部維數探討

熊 波，鄧 薇，孫 麗

(中南財經政法大學信息學院，湖北 武漢 430074)

研究了R上滿足開集條件的一族壓縮映射所生成的自相似集，討論了其上給定的自相似測度μ的局部維數，在R中解決了Cawley和Mouldin問題。證明了在R中若{Ti(x)}ni=1滿足開集條件，?x∈G∩K， Cawley和Mouldin猜想成立，并且舉出反例子驗證當存在x∈G/K時，Cawley和Mouldin猜想不成立。

自相似集；自相似測度；局部維數；開集；壓縮映射； Cawley和Mouldin猜想

σ*i=(σ(1),…,σ(k),i)

若σ∈Ω，記σ|k=(σ(1),…,σ(k))，稱為σ對k的限制。

對σ∈S*，稱C(σ) 為由σ確定的Ω中的柱集：

C(σ)={τ∈Ω；τ|k=σ，|σ|=k}

J(σ|k)=Tσ(1)…Tσ(k)(J)

局部維數是分形幾何理論中的一個重要的研究課題， Cawley和Mouldin在文獻[6]中已證明。

命題1若K為Moran集，g(σ)=x，則：

1 主要結果

證明?x∈G，以下分2種情形證明。

(Ⅰ)若x為某2個基本區間的交點，則有σ≠τ使得g(σ)=g(τ)=x。在這里，為了便于說明，定義序關系：若?k，使σ(i)=τ(i)，1≤i≤k，且σ(k+1)lt;τ(k+1)，則稱στ。不妨令στ，記：

B+(x,ε)=B(x,ε)∩[x,+∞)B-(x,ε)=B(x,ε)∩(-∞,x]

令：

則有：

(1)

同理：

(2)

(3)

由式(1)和(3)得：

(Ⅱ)若x不是任何2個基本區間的交點，但x為某區間的端點，則存在唯一的σ∈Ω，使x=g(σ)。存在k0，使x為J(σ|k0)的端點。不妨設x為J(σ|k0)的右端點(左端點情況可作類似討論)。則對?τ，στ，J(σ|k0)∩J(τ|k0)=?，記:

記:

則有：

與(Ⅰ)類似地可以證明：

證明設：

d=min{d(u,v),μ∈j(i),v∈J(j),i≠j,J(i)∩J(j)=?}

D=max{d(T1(0),0),d(Tn(1),1)}gt;0

暫時固定εgt;d，t=minti，令：

hε(x)=max{k:B(x,ε)∩K?J(σ|k)}

則B(x,ε)∩K至少與J(σ|hε(x))的下一級2個基本區間相交，且：

μ(B(x,ε))≤μ(J(σ|hε(x)))

(4)

1)若B(x,ε)∩K包含J(σ|hε(x))下一級基本區間，則：

logε-logt≥log|J(σ|hε(x))|

(5)

根據式(4)和式(5)有：

2)若B(x,ε)∩K與J(σ|hε(x))的2個下一級基本區間相交，不妨令為J(σ|hε(x)+1)和J(τ|hε(x)+1),其中:

σ(i)=τ(i) 1≤i≤hε(x)σ(hε(x)+1)lt;τ(hε(x)+1)

如果J(σ|hε(x)+1)∩J(τ|hε(x)+1)=Φ，則?y∈J(τ|hε(x)+1)∩B(x,ε)∩K，使得：

ε/2gt;d(x,y)≥t|J(σ|hε(x))|D

logε-log2dgt;logJ(σ|hε(x))

(6)

根據式(4)和式(6)可以類似地證明:

如果J(σ|hε(x)+1)∩J(τ|hε(x)+1)≠Φ，考慮J(σ|hε(x)+1)與J(τ|hε(x)+1)的下一級基本區間。

(a)若B(x,ε)∩K包含hε(x)+2級基本區間，則：

logε-2logt≥logJ(σ|hε(x))

(7)

根據式(4)和式(7)，可以得出結論。

(b)若B(x,ε)∩K不包含任一hε(x)+2級基本區間，則B(x,ε)必J((σ|hε(x)+1)*n)和J((τ|hε(x)+1)*1)相交，而這2個基本區間的間隔至少為t|J(σ|hε(x))|D，則?y∈J((τ|hε(x)+1)*1)∩B(x,ε)∩K，使得：

ε/2gt;d(x,y)gt;t|J(σ|hε(x))|D

logε-log2tDgt;log|J(σ|hε(x))|

(8)

根據式(4)和式(8)可以類似地證明：

2 反 例

下面舉出例子說明存在x∈K/G，使：

不成立。

令：

σ=10…010…010…010…，所以x∈KG。

g(σi)=g(τi)=yi

在本例中取后一種記法yi=g(τi)。于是J(σ|ki+1-1)∩J(τi|ki+1-1)≠?，令εi=|J(σ|ki+1-2)|，有:

B(x,εi)?J(τi|ki+1-1)μ(B(x,ε))≥μ(J(τi|ki+1-1))

而：

故有:

從而結論不成立。

3 結 語

[1]Falconer K.Fractal Geometry-Mathematical Foundations and Applications[M].New York，John Wiley and Sons，1990.

[2]Moran P A R.Additive Functions of Intervals and Hausdorff Measure[J].Proc Camb Phil Soc，1946，(42)：15～23.

[3]Hutchinson J E.Fractals and Self-similarity[J].Indiana University Mathematics，1981,(30):714～747.

[4]肯尼思法爾科內著.分形幾何中的技巧[M].曾文曲，王向陽，陸夷 譯.沈陽:東北大學出版社，1996.

[5]Falconer K J.Wavelet Transforms and Order-two Densities of Fractals[J].J Statistical Physics,1992,67:781～793.

[6]Robert Cawley and R.Daniel Mouldin，Multifractal Decomposition of Moran Fractals[J].Advances in Mathematics，1992,92:196～236.

[7]陳二才，熊金成.關于自相似集的點態維數[J].科學通報，1998,43(20):2162～2166.

[編輯] 洪云飛

O174.1

A

1673-1409(2010)01-N017-04