基于L1樣條與B樣條改進的利率期限結構估計優(yōu)化

○吳澤福 吳 捷

(1. 華僑大學 工商管理學院, 福建 泉州 362021; 2. 澳門大學 管理學院, 中國 澳門)

一 引 言

利率期限結構是由特定時刻的到期期限與其對應利率的系列組成，而利率期限結構靜態(tài)估計是指對特定時刻的利率期限結構進行數(shù)值估計，對發(fā)展和完善中國資本市場和和金融體制具有重要的理論意義和現(xiàn)實意義。利率期限結構是資產定價、風險管理和投資運作的基礎，不僅直接影響公司投資決策和資金籌劃，密切作用于國際經(jīng)濟貿易和宏觀經(jīng)濟運行, 而且也是央行控制短期利率變化以影響中長期利率變化的傳遞機制。國內外大量研究表明，利率期限結構的變動規(guī)律能夠比較全面地刻畫資金市場的發(fā)育水平，綜合反映經(jīng)濟增長預期、資金市場供求、宏觀政策趨勢和國民經(jīng)濟運行狀況。

國際上利率期限結構靜態(tài)估計模型已經(jīng)從息票剝離法、多項式樣條插值，發(fā)展到采用整條曲線擬合的Nelson-Siegel簡約模型[1]473-489，以及采用分段曲線擬合技術的樣條函數(shù)類方法,主要有McCulloch的三次多項式樣條[2]19-31、Vasicek-Fong的指數(shù)樣條及Steeley的B樣條函數(shù)。線性內插式息票剝離法運用單變量求解進行運算產生的計量誤差相對較小，但是有可能由于新發(fā)行債券收益率數(shù)據(jù)的到期缺口而導致不能夠準確地描述即期利率函數(shù)的曲率，而Stephan發(fā)現(xiàn)立體樣條保值式利息剝離法在降低了線性內插的估測誤差的同時提供一個平滑的遠期利率函數(shù)，但是存在估測結果相當敏感于節(jié)點的選擇和在到期范圍末尾會造成額外曲線曲率的嚴重問題。簡約模型的優(yōu)點是參數(shù)經(jīng)濟意義明確和所需估計的參數(shù)相對較少，缺點是需要預設部分參數(shù)來限定曲線類型,算法涉及非線性優(yōu)化且收斂速度很慢，模型估計存在的系統(tǒng)化凹性影響到長期債券的定價精度。樣條函數(shù)類方法對曲線擬合能力和適應性較強,程序估計誤差易于控制和擬合結果穩(wěn)定性較高，尤其是B樣條函數(shù)的局部非零性質能夠避免多項式樣條估計方法中存在的回歸矩陣多重共線性問題，但估計方法在樣條函數(shù)以及分割區(qū)間上存在著較大的選擇空間,需要運行標準定價誤差的最小化搜索程序降低估計誤差。Steeley得出B樣條函數(shù)能夠相當精確地近似貼現(xiàn)函數(shù)和獲取平滑的即期利率曲線[3]513-529，Deacon和Derry通過比較各種擬合技術得出B樣條函數(shù)是最有效的利率期限結構的估計方法。Fisher,Nychka和Zervos指出B樣條函數(shù)法能夠克服McCulloch使用平方樣條擬合時產生的遠期利率曲線的節(jié)點問題[4]85-116，但Chambers證實B樣條函數(shù)擬合效果受到樣本區(qū)間內節(jié)點選擇的影響重大[5]233-252。指數(shù)樣條克服多項式樣條對擬合遠期利率的不穩(wěn)定性，能夠較好地刻畫利率到期期限延伸的拖尾曲線形狀。Vasicek和Fong設定折扣函數(shù)形式上是指數(shù)衰減，避免了二項式樣條函數(shù)不具有恒定的曲率而導致遠期利率曲線斜率的近似誤差問題，但Fong發(fā)現(xiàn)指數(shù)樣條的期限結構擬合法有時劣于立體樣條法，常用的三次指數(shù)樣條函數(shù)系數(shù)需要利用非線性回歸，所得的遠期利率曲線不穩(wěn)定且所需要計算量相當大[6]339-348。

國內學者采用不同方法構建利率期限結構，如陳雯和陳浪南采用指數(shù)函數(shù),鄭振龍和林海[7]33-36，朱世武和陳健恒，周榮喜和邱菀華采用多項式樣條，謝赤和鐘贊運用立方插值法，趙宇齡、范龍振和王曉麗采用Nelson-Siegel模型,朱峰采用帶平滑技術的B樣條，劉燦和易璐，傅曼麗、董榮杰和屠梅曾采用三階B樣條[8]1337-1340，大部分已有的利率期限結構實證研究偏重于函數(shù)構造及價格擬合度的驗證,而忽視了最小化估計誤差約束的擬合模型優(yōu)化與整體估計效率分析以及現(xiàn)實市場上存在的諸多摩擦因素的影響。

本文的主要貢獻體現(xiàn)為：(1)通過比較基本利率期限結構靜態(tài)估計模式的優(yōu)劣，推進B樣條函數(shù)貼現(xiàn)擬合方法運用程序的優(yōu)化研究；(2)構建B樣條函數(shù)最小化定價誤差的節(jié)點組合人工搜索程序，豐富了B樣條函數(shù)估計在節(jié)點數(shù)目和定位的有效方式；(3)運用L1樣條優(yōu)化技術進一步放寬B樣條函數(shù)對貼現(xiàn)函數(shù)的二階平滑要求和克服對節(jié)點數(shù)目與定位的人工干預，增強了對當期價格變動特征的估計能力，深化了債券定價精確度和貼現(xiàn)函數(shù)過度波動問題的研究。本文的研究旨在改進利率期限結構靜態(tài)估計方法的精確度，為利率期限結構動態(tài)機制研究提供精確數(shù)據(jù)，提升央行貨幣政策決策的有效性和科學性。

二 研究方法

1．B樣條改進

(1)

(2)

(3)

(4)

運用此方法估計的貼現(xiàn)函數(shù)在到期時取值為1，不需要系數(shù)的約束條件。但是運用這種方法會導致短期利率的估計過度敏感于到期期限的改變，從而產生利率期限結構估計的不穩(wěn)定，而且模型的估計需要運用到非線性估計技術。雖然運用樣條函數(shù)可以直接擬合遠期利率曲線，但是Bing和Huei指出此種方法所需要的計算量相當費時且估計獲得的利率期限結構曲線末端相當不穩(wěn)定，故而本文暫不采用此法。

2．L1樣條技術[9]197-229

L1樣條擬合方法放寬了貼現(xiàn)函數(shù)二階可導條件，僅要求折現(xiàn)函數(shù)一階可導,從而避免了B樣條函數(shù)在計算樣條插值時的高波動性問題。L1樣條定義最小化債券定價誤差和折現(xiàn)函數(shù)的統(tǒng)一程式為式(5)：

(5)

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三 實驗研究

1．樣本選取

研究樣本為上海證券交易所上市交易的20只國債每個交易日價格的歷史行情數(shù)據(jù)，每條歷史行情數(shù)據(jù)記錄國債的代碼、日期、交易價格和收益率。由于2001年之前，市場缺乏期限超過10年的長期債券，而且債券的交易品種很少，而2006年以后央行頻繁調整利率水平，為了控制擬合估計偏誤程度，回歸分析和優(yōu)化算法的樣本選取期間為2002年1月4日至2005年12月29日止的920個觀測日。由于2002年3月25日以后，國債交易價格是以扣除累計利息的凈價法表示，因此必須加上這些債券的累計利息，得出真實的息票債券價格，全部數(shù)據(jù)來自上海證券交易所的歷史行情數(shù)據(jù)庫。

2．模型設定與估計

筆者通過改變樣本內節(jié)點的分布模式進行敏感性分析，尋求最小化標準定價誤差的節(jié)點分布。運用B樣條函數(shù)估計利率期限結構的第一步是識別子區(qū)間個數(shù)和節(jié)點數(shù)目。為了獲得平滑的遠期利率曲線，需要使用三階B樣條函數(shù)來近似貼現(xiàn)函數(shù)，通過比較平均標準誤差和顯著系數(shù)的個數(shù)來選取適當?shù)淖訁^(qū)間數(shù)目，樣本內的節(jié)點通過債券樣本數(shù)量的均等分來確定。當子區(qū)間為4時，樣本內節(jié)點設定為0, 6, 10, 15, 20的樣條函數(shù)組合的7個系數(shù)在0.05水平上都是顯著；當子區(qū)間個數(shù)增加時，盡管平均標準定價誤差略有減少，但是估計系數(shù)的顯著水平并沒有顯著增加；上述節(jié)點設置的平均標準定價誤差是0.5326，使用不同的樣本外節(jié)點，定價誤差并沒有顯著的變化。

Vasicek和Fong指出由于無風險債券越接近于到期日時的價格越接近于債券面值，而越是遠離到期日的價格波動會越大，因而無約束貼現(xiàn)擬合模型、約束貼現(xiàn)擬合模型和即期利率擬合模型的誤差項不是同方差的，但是Bing和huei發(fā)現(xiàn)上述三個模型的誤差項設定為同方差或異方差幾乎不改善模型的擬合效率。因而，本文設定這些誤差項具有同方差屬性來進行相應的回歸分析。

使用2003年6月24日的國債交易價格進行估計，表1給出不含息票因子的二項式樣條擬合模型估計結果。無約束貼現(xiàn)函數(shù)擬合模型，有約束貼現(xiàn)函數(shù)擬合模型和即期利率擬合模型的所有參數(shù)估計在95%的水平上都是顯著的，表明三種擬合方法的有效性；三種擬合方法的標準定價誤差相近，基本上在0.6至0.7之間，其中無約束貼現(xiàn)擬合法的標準定價誤差最大，約束貼現(xiàn)擬合法的標準定價誤差較小，即期利率擬合法最低，但是擬合出來的利率期限結構的運動路徑差異較大。

表1 不含息票因子的模型估計結果( 2003/6/24 )

表2 含息票因子的模型估計結果(2003/6/24)

通過B樣條函數(shù)估計定價模型的貼現(xiàn)函數(shù)與回歸系數(shù)如表1所示，再運用無約束貼現(xiàn)擬合、約束貼現(xiàn)擬合和即期利率擬合即可獲取整個樣本期內的利率期限結構。在三種擬合方法中，無約束貼現(xiàn)擬合不能獲得可靠和穩(wěn)定的短期利率，約束貼現(xiàn)擬合法的標準定價誤差偏大(平均達0.62)，但是能夠顯著地改進了短期利率估計的可靠性；在不考慮即期利率擬合法計算上的復雜性，其定價精確度略微優(yōu)于約束折扣擬合法。引入付息效應和年利率水平后，標準定價誤差并沒有顯著下降，如表2所示。通過樣本區(qū)間內節(jié)點的最優(yōu)化選擇，擬合的精確度有了進一步的提高，即期利率擬合法的定價精確度優(yōu)于約束貼現(xiàn)擬合法，印證了Vasicek和Fong關于利率曲線的較優(yōu)擬合函數(shù)是指數(shù)函數(shù)而非二項式的觀點。

從圖1可以看出，無約束貼現(xiàn)擬合法得出的0.5年期短期利率出現(xiàn)了負值，這與現(xiàn)實不相符合；約束貼現(xiàn)擬合法比無約束貼現(xiàn)擬合法呈現(xiàn)更合理的利率期限結構模式，中期利率曲線呈先上升后走低，而長期利率曲線呈緩慢的上升趨勢；即期利率擬合法與約束貼現(xiàn)擬合法(節(jié)點T5=6,T6=10和T7=15)所得的利率曲線基本上一致；約束貼現(xiàn)擬合法中節(jié)點T5=5,T6=8,T7=15的擬合與節(jié)點T5=7,T6=10,T7=15的擬合的曲線相似，隨著期限的增加呈單調平緩上升趨勢。

從圖2可以看出，節(jié)點T5=6,T6=10和T7=15的B樣條函數(shù)擬合的結果最接近真實的債券價格，而無約束的B樣條函數(shù)擬合，節(jié)點T5=5,T6=8和T7=15的B樣條函數(shù)擬合和節(jié)點T5=7,T6=10和T7=15的B樣條函數(shù)擬合的結果均明顯高出真實的債券價格，進一步比較圖3給出的不同節(jié)點定位B樣條估計定價誤差三維分布，可見，B樣本內有相同節(jié)點數(shù)目而不同節(jié)點的定位選擇估計系數(shù)定價誤差有著重大影響。

圖1 不同節(jié)點組合下的利率期限結構擬合 圖2 不同節(jié)點數(shù)目估計的債券價格結果比較

3．模型改進——付息效應與節(jié)點優(yōu)化

上海證券交易所上市交易的國債市場收益(2002.9.23-2004.6.24)數(shù)據(jù)表明，大部分的年付息國債的市場收益率比半年付息國債來得低，這主要是由于半年付息國債都是長期國債,在市場收益率中包含流動性溢價，但是這部分國債的定價模型中卻不存在付息效應，筆者在上述三種B樣條擬合模型中增加付息次數(shù)因子和年付息水平因子，表2給出的回歸結果b8表明付息次數(shù)和年付息因子的估計系數(shù)均不顯著，這可能是因為半年付息國債的個數(shù)偏少(僅占樣本國債數(shù)量的12%)有關。

圖3 不同節(jié)點定位B樣條估計的定價誤差 圖4 不同節(jié)點數(shù)目和估計方法的貼現(xiàn)函數(shù)

本文考慮10個節(jié)點(-3,-2,-1,0,8,15,20,25,30,35)和15個節(jié)點(-3,-2,-1,0,4,7,10,12,15,18,20,22,25,30,35)兩種基本的節(jié)點組合，對于立體樣條函數(shù)而言，10個節(jié)點與15個節(jié)點對應的B樣條函數(shù)個數(shù)分別為6條和11條，分別擬合國債10308在期間2003.10.8-2004.6.25內的價格曲線如圖5(d)所示。圖5(d)顯示15個節(jié)點組合擬合的定價誤差明顯小于10個節(jié)點，而圖4中貼現(xiàn)函數(shù)曲線卻表明15個節(jié)點組合的折現(xiàn)曲線波動幅度相比10個節(jié)點組合的較大，但更符合折現(xiàn)函數(shù)趨向于單調減少的基本特征。

圖5 不同估計技術與節(jié)點數(shù)量的擬合誤差對比

具有相同節(jié)點數(shù)目而節(jié)點位置不同的組合對于擬合定價誤差的影響，筆者考察了上述10個節(jié)點中的T5，T6和T7在樣本期內的各種可能組合，運用約束貼現(xiàn)擬合模型分別求出國債10308在2003年6月24日相應的標準定價誤差如圖3所示，通過選取最小化的標準定價誤差所對應的節(jié)點組合(T5=6,T6=10和T7=15)即為最優(yōu)的樣本內節(jié)點組合。筆者還將T5，T6和T7引入約束貼現(xiàn)擬合模型進行非線性估計，得出更精確的樣本內節(jié)點的組合。值得注意的是，上述各種樣本內節(jié)點組合下的模型系數(shù)估計結果都是顯著的，進一步顯示貼現(xiàn)約束B樣條函數(shù)估計在穩(wěn)定性和可靠性上提升。

4．L1樣條估計

雖然B樣條函數(shù)模型經(jīng)過上述改進能夠顯著地提高定價精確性和減少貼現(xiàn)函數(shù)波動程度，但是過多人為干預和定價精確度的進一步提高仍是急待解決的問題。為此進一步引入L1樣條擬合國債10308(面值100元，到期日2013年9月17日，票面利率3.02%)在期間2003.10.8-2004.6.25內的價格曲線，運用TOMLAB算法優(yōu)化程序模塊解決。首先編寫Matlab命令文件定義債券定價公式，通過雅克比(Jacobian)矩陣實現(xiàn)定價可微方程與真實債券價格的最優(yōu)線性逼近，將約束非線性絕對值求和最小化問題轉化為約束線性最小化問題，然后運用離散非線性優(yōu)化算法SNOPT(Sparse Nonlinear Optimizer)調用廣義拉格朗日函數(shù)的二階導數(shù)的準牛頓近似作為優(yōu)化算法的路徑，使用迭代法逐步逼近問題的可行域或最優(yōu)解。

為了揭示三次多項式函數(shù)的個數(shù)對L1樣條函數(shù)擬合的影響，筆者通過比較相同三次多項式個數(shù)的B樣條函數(shù)，圖5(b)表明具有相同節(jié)點數(shù)量與組合(-3,-2,-1,0,8,15,20,25,30,35)的L1樣條的擬合誤差比B樣條顯著變小，B樣條擬合傾向刻畫國債價格的長期變化趨勢，而L1樣條則更強調國債價格短期變動特征的捕捉，L1樣條的貼現(xiàn)函數(shù)的波動性則明顯比B樣條更頻繁，但L1樣條擬合的貼現(xiàn)函數(shù)的波動頻率增加的程度明顯低于B樣條函數(shù)。進一步提高樣條節(jié)點數(shù)目，圖5(a,c)表明L1樣條和B樣條在15個節(jié)點下的擬合精確度比在10個節(jié)點的情形均有提高，表3數(shù)據(jù)說明在運用相同數(shù)目節(jié)點擬合債券價格數(shù)據(jù)時，L1樣條比B樣條的擬合誤差明顯降低，而圖4貼現(xiàn)函數(shù)曲線顯示L1樣條與B樣條節(jié)點數(shù)目的提高會導致貼現(xiàn)函數(shù)波動性變化頻率增大，這與貼現(xiàn)函數(shù)的單調遞減性特征相背離，同時L1的擬合隨著節(jié)點數(shù)目的增加對國債價格近期變動的曲線描繪更細致和精確，但L1樣條在特定節(jié)點數(shù)目下比B樣條的擬合耗時更長，而且隨著節(jié)點數(shù)目和擬合數(shù)據(jù)量的增大明顯增長(如表3)。再進一步比較B樣條與L1樣條的貼現(xiàn)函數(shù)曲線的波動特征，L1樣條擬合的貼現(xiàn)函數(shù)曲線的變化范圍在0.1-0.3之間(均值為0.2)，處于合理的波動期間，而B樣條擬合的貼現(xiàn)函數(shù)卻更多地受到人為節(jié)點數(shù)目與組合的干擾。

表3 L1樣條與B樣條的擬合誤差與計算耗時

四 基本結論

本文針對國內文獻對利率期限結構靜態(tài)估計方法研究主要集中于息票剝離法、多項式樣條函數(shù)估計、指數(shù)樣條函數(shù)估計和B樣條函數(shù)估計，且相應的估計定價誤差較大和貼現(xiàn)函數(shù)的精確度較低的問題，對B樣條函數(shù)進行節(jié)點優(yōu)化組合和付息效應因子的模型改進，比較無約束貼現(xiàn)回歸、約束貼現(xiàn)回歸和即期利率回歸，借助標準定價誤差進行樣本內節(jié)點的敏感性分析，通過估計誤差最小化搜索程序和樣本內節(jié)點的最優(yōu)組合，獲取最優(yōu)的B樣條函數(shù)的樣本內節(jié)點分布結構，進一步降低樣本數(shù)據(jù)的估計誤差，擬合結果顯示改進后的B樣條能夠增強對利率期限結構的估計可靠性, 降低除節(jié)點選擇外的因素干擾。

B樣條函數(shù)經(jīng)過節(jié)點數(shù)目和定位的人工篩選后能夠進一步降低擬合誤差，而提供的貼現(xiàn)函數(shù)的波動程度會隨著節(jié)點數(shù)目的增加而有所增大。L1樣條通過最優(yōu)化技術有效地提高擬合精確度，但其貼現(xiàn)函數(shù)的波動性相比B樣條函數(shù)而言隨著節(jié)點數(shù)目的增加而緩慢增大，運用自適應算法可以進一步改進L1樣條節(jié)點的準確定位和改善定價的機制，同時L1樣條只要求貼現(xiàn)函數(shù)一階平滑條件，放寬了B樣條函數(shù)對貼現(xiàn)函數(shù)的二階平滑要求，從而更符合債券價格數(shù)據(jù)序列本身具有的不平滑性特征，因而較大程度提高了近似能力和解決了貼現(xiàn)函數(shù)的波動性問題。

國際上各種前沿的利率期限結構靜態(tài)估計模型，從指數(shù)樣條函數(shù)、致密樣條函數(shù)、B樣條函數(shù)到Chebyshev函數(shù)等，一步步地降低利率期限結構靜態(tài)估計技術存在的誤差，但是最為快捷、有效而準確的靜態(tài)估計方法與理論的統(tǒng)一標準仍待進一步深入的研究和探討。盡管本文借助B樣條函數(shù)估計優(yōu)化模型和L1樣條估計技術，進一步改善了中國利率期限結構靜態(tài)估計方法的精確度，但最優(yōu)擬合函數(shù)形式和曲線平滑度問題并未得到完全解決，有關報價誤差、買賣差價、稅收效應和流動性差異等因素對利率期限結構估測方法的影響有待深入分析[10]99-105。

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