中國期貨價格期限結構模型實證分析

王 麗,王蘇生,劉 艷,李志超

(哈爾濱工業大學 深圳研究生院,廣東 深圳 518055)

一、引 言

期貨價格的期限結構是指在某一時點,不同期限的期貨價格與現貨價格之間的關系.[1]由于期限結構的研究可以為投資決策和套期保值提供依據,因此引起學界的廣泛關注.學者們從多個角度構建了不同的期貨價格的期限模型,從最簡單的單因素模型到復雜的三因素模型.

由于現貨價格是期貨價格的主要決定因素,大多數單因素模型選取現貨價格為狀態變量.Brennan和Schwartz[2]的單因素模型假設現貨價格服從幾何布朗運動,即dS=μSdt+σSdZ.但實證研究表明單因素模型的擬合能力較差.[3-4]為了更精確地描述商品價格的期限結構,有學者建立了二因素的期限結構模型.基于 Gibson和 Schwartz[5]的研究,Schwartz[3]以現貨價格 S和便利收益δ為狀態變量建立了二因素模型,假設便利收益δ服從均值回復過程,并作為隨機紅利影響現貨價格的變動,使得現貨價格具有均值回復的趨勢,即dS=(μ-δ) dt+σSdZS,dδ=κ(α-δ)dt+σδdZδ.該模型在期貨價格期限結構模型中影響力最廣,很多更復雜的模型都是在該模型基礎上改進提出的.[6-9]

早期關于商品價格期限結構研究中,都假設利率為常數,但這種假設不符合實際情況.[1]Schwartz[3]開創性地以現貨價格、便利收益和利率為狀態變量,提出了三因素模型,即 dS=(r-δ)dt+σSdZS,dδ=κδ(α-δ)dt+σδdZδ,dr=κr(m-r) dt+σrdZr.在該模型基礎上,Casassus和 Collin-Dufresne[10]構建了三因素的仿射期限結構模型.實證結果表明,現貨價格和便利收益的變化量為高度正相關.有學者提出質疑,假設兩個高度相關的變量為隨機變量是不合適的,模型不能解釋每個狀態變量的獨自變化.[1]能否以不相關的狀態變量建立期限結構模型呢?在這一背景下,Schwartz和Smith[4]建立了狀態變量"正交"的二因素模型.該模型假設現貨價格的對數lnSt可以分解為兩個狀態變量的和,即lnSt=χt+ξt.其中,短期偏離變量χt服從均值為零的均值回復過程,即dχt=-κ χtdt+σχdZχ,長期均衡變量ξt服從布朗運動,即 dξt=μdt+σξdZξ.Bernard等[11]實證結果表明,Schwartz和Smith模型對金屬期貨價格的擬合和預測能力較好.

鑒于目前國內尚無期貨價格期限結構的實證研究,本文以2000-2008年的期銅價格面板數據為樣本,考察中國期貨價格的期限結構.在Schwartz和Smith[4]模型基礎上,結合期貨價格期限結構的實際情況,假設短期偏離變量和長期均衡變量服從均值回復過程,提出一個二因素的期貨價格期限結構模型,以期對中國的期貨價格進行較為準確的定價和預測.

二、期貨價格期限結構模型

1.研究樣本

按照《上海期貨交易所結算細則》規定,期貨合約均以當日結算價作為計算當日盈虧的依據,因此選取上海期貨交易所(SHFE)期銅日結算價為研究樣本.觀測樣本區間為2000年1月4日至2008年12月31日,共有2176個樣本點.預測樣本區間為2009年1月4日至2009年5月30日,共有96個樣本點.考慮到數據的可獲得性,兼顧交易價格的連續性,構造7個連續的期貨合約,分別稱之為 F1、F2、F3、F4、F5、F6和 F7,其中 F1是距離到期日最近的期貨合約,F2是距離到期日第二近的期貨合約,以此類推.其中,期銅日結算價的面板數據來自Wind數據庫.2000-2008年的期貨價格描述性統計結果如表1所示.

表1 描述性統計結果

均值統計量顯示,近月合約價格大于遠月合約價格,因此中國期銅的期限結構是現貨升水(現貨價格大于期貨價格);JB統計量顯示,期貨價格時間序列不服從正態分布;標準差統計量顯示,價格波動率隨著到期期限增加而減少.

Bessembinder等[12]認為期貨價格波動率是到期時間的減函數表明期貨價格存在均值回復.Dai和Singleton[13]指出,均值回復速度κ在利率期限結構模型中具有重要的作用,隨著到期期限 T的增加,κ的影響作用趨于零,而且κ越大衰變越快,所以較大的κ表示影響時間較短的因素的均值回復速度.因為期貨價格期限結構與利率期限結構類似,Dai和Singleton的觀點同樣適用于期貨價格期限結構模型.在均值回復情況下,當到期期限較短時,多種因素共同影響期貨價格;當到期期限較長時,只有長期因素影響價格.隨著到期期限增加,引起期貨價格改變的因素變少,故期貨價格波動率是到期期限的減函數.基于上述理論分析,本文假設影響期貨價格變動的因素服從均值回復過程,但Schwartz和Smith[4]假設長期均衡變量服從布朗過程.本文第四部分將采用多種誤差統計量,實證說明本文提出的模型比Schwartz和Smith模型能更準確地描述期貨價格的期限結構.

2.期貨價格期限結構模型

設現貨價格的對數可以分解成短期偏離和長期均衡兩部分

式中:St表示現貨價格;x1t表示價格的短期偏離; x2t表示長期均衡價格.假設短期偏離變量服從均值為零的均值回復過程,長期均衡變量服從均值為常數的均值回復過程

式中:κ1表示短期偏離的均值回復速度;σ1表示短期偏離的波動率;dZ1表示短期偏離的標準布朗運動的增量;κ2表示長期均衡的均值回復速度;θ表示回復的均值;σ2表示長期均衡的波動率;dZ2表示長期均衡的標準布朗運動的增量,且dZ1dZ2=ρ12dt.

短期偏離變量的改變量反映短期因素如天氣變化和供應中斷等引起的價格變化.這些因素不會長期存在,因此假設該變量服從均值為零的回復過程.長期均衡變量改變量反映通貨膨脹、政治和規章制度等長期因素的影響引起的價格變化.這些因素長期存在,導致價格維持在某一水平,因此假設該變量服從均值為常數的均值回復過程.雖然這兩個狀態變量不能直接觀測,但較長到期時間的期貨合約價格提供均衡變量的信息,短期與長期期貨合約的價格差提供短期偏離的信息.

期貨價格等于到期時風險中性測度下的現貨價格期望[3],即 F(0,T)= E*(ST),因此為求出正確的期貨價格表達式,在式(2)中加入風險溢價因子

式中:λ1表示短期風險溢價因子;dZ表示風險中性測度下的短期偏離變量的標準布朗運動的增量; λ2表示長期風險溢價因子;dZ表示風險中性測度下的長期均衡變量的標準布朗運動的增量,且=ρdt.12

若給定狀態變量初值 x10和 x20,可得狀態變量的期望和協方差矩陣

則根據式(1),得到lnSt的期望和方差

由正態分布的特性可得

將式(6)、(7)帶入式(8),得到期貨價格模型

其中:

則在時刻t,到期時間為 T的期貨合約F(t,T)的價格模型為

三、研究方法和實證分析

1.卡爾曼濾波

卡爾曼濾波由一系列遞歸數學公式描述,其中量測方程描述可觀測的期貨價格與不可觀測的狀態變量之間的關系,轉移方程描述狀態變量的更新過程.卡爾曼濾波的功能強大,通過可觀測數據它不僅可以估計模型隱含的狀態變量,還可以結合極大似然法求得模型的未知參數.[3]

根據式(10),模型的量測方程為

式中:yt=[lnF(Ti)]是時刻t,到期時間為 Ti的期貨價格對數的 HX1向量(i=1,2,…,H);Mt= [exp(-κ1Ti)exp(-κ2Ti)]是 HX2向量;dt= [A(Ti)]是 HX1向量;vt是序列不相關的HX1向量,且E[vt]=0,cov[vt]=Vt.

根據式(2),模型的轉移方程為

2.參數估計

選取具有代表性的3個期貨合約:到期時間最短的F1,到期時間最長的F7和到期時間居中的F4,采用Eviews 5.0統計軟件對 F1、F4和 F7進行數據處理,運用卡爾曼濾波和極大似然法,即可求得模型的未知參數和隱含狀態變量值.[14]參數估計結果如表2所示.

表2 參數估計結果

從表2可以看出,短期和長期均值回復參數κ1和κ2都顯著不為零,說明短期和長期偏離變量服從均值回復過程.短期和長期風險溢價因子λ1和λ2在1%水平下不顯著,這一結果和文獻[3]、[4]結果一致.因為均值回復速度κ越大衰變越快,影響價格變動的持續時間越短,因此本文的短期偏離的均值回復速度κ1大于長期均衡的均值回復速度κ2,符合最初模型假設.由于中國期銅市場的期貨合約到期期限都不超過1年,因此中國期銅的價格同時受短期因素和長期因素的制約.狀態變量增量的協方差表明短期與長期增量負相關.

四、模型能力比較

1.模型能力評價標準

在求得模型參數和狀態變量后,利用式(10)即可求得擬合的期貨價格對數值,擬合值與真實值的差即為模型的擬合誤差.采用平均絕對誤差(MAE)和誤差均方根(RMSE)統計量,評價模型的擬合和預測能力.

2.模型擬合能力比較

擬合誤差統計量如表3所示.從表3可以看出, Schwartz和Smith[4]的模型(簡稱模型1)的MAE和RMSE值大于本文提出的二因素模型(簡稱模型2)的MAE和RMSE值,說明模型2的擬合能力優于模型1.雖然模型的參數和狀態變量是用 F1、F4和 F7這3個期貨合約數據得到的,但是模型對觀測期內的其他期貨合約(F2、F3等)的擬合能力也較好,說明 F1、F4和 F7這3個期貨合約具有代表性,可較好地估計模型參數.

表3 擬合誤差統計量

3.模型預測能力比較

以上是評價模型對觀測樣本數據的擬合能力,下面考察模型對觀測期外樣本的預測能力,采用遞歸方式不斷更新模型的參數值,以提高模型的預測精度.[11]

預測誤差統計量如表4所示.MAE和RMSE的比較結果顯示,模型2的預測誤差小于模型1,這說明模型2的預測能力優于模型1.

表4 預測誤差統計量

五、結 語

本文以短期偏離和長期均衡為狀態變量,構建一個期貨價格期限結構的二因素模型,以2000-2008年的期銅價格面板數據為研究樣本,研究中國期銅價格的期限結構,并運用卡爾曼濾波和極大似然法進行實證分析.研究結果表明,中國期銅價格受短期和長期因素的共同作用,到期期限越短,受短期因素影響越大,波動率越大.與 Schwartz和Smith[4]的模型相比,本文提出的模型總體上更好地刻畫了中國期銅價格的行為特征,具有更好的擬合與預測能力.同時,本研究對期貨投資決策和套期保值具有一定的指導意義.

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