關于一道恒成立問題的探究及拓展

　　高三第一輪復習，正復習到函數的時候，一個學生找到我，問了這樣一個題，同時很困惑地跟我說：“老師，這樣的恒成立問題我也看了好多，可每個題雖然都是恒成立問題，但解決方法都不一樣，我還是不知道該如何去分析、求解……”看著他困惑的樣子，我安慰他：“來，先坐下，別急！讓我先看看，咱們一塊分析一下。”
　　 題目是這樣的：已知f(x)=ex-kx，x∈R，若k>0且對任意x∈R，f(x)>0恒成立，求實數k的取值范圍。
　　 為了讓他主動思考，我鼓勵他：“先說說你的思路，別怕錯。”他說：“我想畫f(x)=ex-kx有圖像，可又畫不出來。”我說：“是的，確實不好畫，這個函數咱們不常見，但是我發現y=ex與y=kx都是基本常見函數，你能不能把ex-kx>0轉化一下？”通過引導，這個學生將這個問題用圖像法解決了。
　　ex>kx恒成立可以轉化為y=ex的圖
　　像恒在y=kx的上方，相切是臨界情況，
　　如圖1：
　　
　　解：設切點(x0，y0)，得k==k=f'(x)=e，即=e。解得：x=1，y=e，k=e， ∴當0　　 最后我問他：“你覺得圖像法好在哪？難在哪？”他說：“圖像法是數形結合思想的應用，它的優點是解題過程直觀、簡潔明了，運用難度較小，但只局限于能畫圖像的一次函數、二次函數、指數函數、對數函數等常見函數。”我說：“很好，但你同時還要注意不等式和函數間的轉化。那么你還有沒有其他的做法。”學生說：“可將參數k與變量x分離，但是太麻煩了。”我問：“麻煩在哪？”他說：“要討論x的正負來確定不等號。”我鼓勵他：“你把這個問題的關鍵說出來了，分類討論思想是高考的熱點，別怕麻煩，做做試試，”經過引導，學生用分離參數法將問題解決了。
　　 當x=0時，f(0)=e0-0>0不等式成立。
　　 當x>0時，ex-kx>0即k<，令g(x)=，則g'(x)==。
　　 令g'(x)=0得