談新課標下數學直覺思維能力的培養

摘要：伊恩斯圖加特說：“直覺是真正的數學家賴以生存的東西。許多重大的發現都是基于直覺。”本文主要闡述了本人對數學直覺思維的認識，以及培養數學直覺思維的重要性和必要性，進一步闡述了如何培養的問題。

關鍵字：數學直覺 思維能力

21世紀將是一個知識創新的世紀，新世紀正在召喚大批高素質創造型人才。而負有教育任務的我們廣大教師如何在學科中培養創造性思維就具有十分重要的意義，人的創造力不是一種天外飛來的東西。我們在數學教育中注重學生創造性思維能力培養的同時，還應該注重觀察力、直覺力、想象力的培養，特別是直覺思維能力的培養，由于長期直覺思維得不到重視，學生在學習的過程中認為數學是枯燥乏味的，對數學的學習缺乏取得成功的必要的信心，從而喪失數學學習的興趣。培養直覺思維能力是社會發展的需要，是適應新時期社會對人才的需求。

一、對數學直覺的認識

1 直覺是發明的源泉。直覺思維就是指人們不受邏輯規則約束直接領悟事物本質的一種思維方式。比如在日常生活中有許多說不清，道不明的東西。人們對各種事件作出判斷和猜想離不開直覺。甚至可以說直覺無時無刻不在起作用。數學也是對客觀世界的反應，數學最初的概念都基于直覺，數學在一定程度上，就是在解決問題的過程中逐漸發展起來的。問題的解決也離不開直覺。而數學直覺思維是直接反映數學對象、結構以及關系的思維活動。思維者不是按部就班地推理，而是對思維對象從整體上進行考察，調動自身的全部知識經驗，通過豐富的想象作出的敏銳而迅速的假設，猜想或判斷，其特點是條件和結論之間不一定具有邏輯性，而僅僅是依靠直覺。這種推理方式雖然缺乏邏輯的依據，但由于直覺是依靠人的以往經驗為基礎的。所以這種推理也能得到合理的結果，甚至是偉大的發現。

2 數學直覺思維的表現形式是以人們已有的知識、經驗和技能為基礎，通過觀察、聯想、類比、歸納、猜測之后對所研究的事物作出一種比較迅速的直接的綜合判斷，它不受固定的邏輯約束，以潛邏輯的形式進行。例如如果一條直線上有兩點在一個平面內，那么這條直線上所有點都在這個平面內等平面內的一些基本性質和定理。都是在長期的時間和觀察當中，總結出來的并沒有一個嚴格的證明，只是一種直觀形象的感知。而直覺的研究對象則是往往是抽象的數學結構及其關系。例如，數學當中的歸納法，把我們仍無法想象的結果，但我們能夠通過直覺一般地思考，可得到結論。由此可見直覺是一種深層次的心理活動，沒有具體的直觀形象和可操作的邏輯順序作思考的背景。

3 數學直覺思維具有個體經驗性、突發性、偶然性、果斷性、創造性、迅速性、自覺性、直觀性、自發性、不可靠性等特點。在教育過程中，教師如果把證明過程過分的嚴格化、程序化，用僵硬的邏輯外殼掩蓋住直覺的光環，學生們只能把成功歸功于邏輯的功勞，而喪失了“可靠的直覺”，那將是我們教育的失敗。《中國青年報》曾報道，“約30％的初中生學習了平面幾何推理之后，喪失了對數學學習的興趣”，這種現象應該引起數學教育者的重視與反思。歐幾里得幾何學的五個公設都是基于直覺，從而建立起歐幾里得幾何學這棟輝煌的大廈；哈密頓在散步的路上進發了構造四元素的火花；阿基米德在浴室里找到了辨別王冠真假的方法：凱庫勒發現本分了環狀結構更是一個直覺思維的成功典范。

直覺不是靠“機遇”，直覺的獲得雖然具有偶然性，但決不是無緣無故的憑空臆想，而是以扎實的知識為基礎。若沒有深厚的功底，是不會迸發出思維的火花的。數學直覺思維活動在時間上表現為快速性，即它有時是在一剎那間完成的；在過程上表現為跳躍性；在形式上表現為簡約性，簡約美體現了數學的本質。直覺思維是一瞬間的思維火花，是長期積累的一種升華，是思維者的靈感和頓悟，是思維過程的高度簡化。

直覺思維是基于研究對象整體上的把握，不專意于細節的推敲，是思維的大手筆。正是由于思維的無意識性，它的想象才是豐富的，發散的，使人的認知結構向外擴展，因而具有反常規律的獨創性。許多重大的發現都基于數學直覺。現代社會需要創造性的人才，我國的教材由于長期以來借鑒國外的經驗，過多的注重培養邏輯思維，培養的人才大多數習慣于按部就班、墨守成規，缺乏創造能力和開拓精神。因此培養學生的直覺思維是必要的。

4 數學直覺思維能力的提高有利于增強學生的自信力。成功可以培養一個人的自信，直覺發現伴隨著很強的“自信心”，它使學生的自我價值得以充分實現。也就是最高層次的需要得以實現，比起其它的物資獎勵和情感激勵，這種自信更穩定、更持久、學習的最好刺激是對教學材料的興趣、當一個問題不用通過邏輯證明的形式而是通過自己的直覺獲得，那么成功帶給他的震撼是巨大的，內心將會產生一種強大的學習鉆研動力、興趣更多的是來自數學本身。成功可以培養一個人的自信，直覺發現伴隨著很強的“自信心”。相比其它的物資獎勵和情感激勵，這種自信更穩定、更持久。

二、數學直覺的培養

一個人的數學思維，判斷能力的高低主要取決于直覺思維能力的高低。徐利治教授指出：“數學直覺是可以后天培養的，實際上每個人的數學直覺也是不斷提高的。”對于一個專業的數學工作者來說，他所具有的數學直覺顯然已不再是一種樸素意義上的原始直覺，而是一種精致化了的直覺，也即是通過多年的學習和研究才逐漸養成的。

扎實的基礎是產生直覺的源泉。直覺的產生是基于對研究對象整體的把握，直覺的獲得具有偶然性，但決不是無緣無故地憑空臆想，成功孕育于1％的靈感和99％的血汗中。因此培養和發展數學直覺思維能力，應注意以下幾點：

1 創造情景，引導學生主動去學數學

創設教學情境有利于學生循著知識產生的脈絡去準確把握學習的內容。在情境化的教學中，學生直接接觸現成的結論，知識猶如橫空出世一般突然呈現在學生的面前。由于不知道知識是為了解決什么問題，以及是如何得來的，這就給學生深刻理解學習內容，帶來了障礙，不利于學生思維的發展。思維起始于問題而不是確定的結論。杜威在他的“五步思維法”中指出，思維活動可分為五個階段：“第一步：問題。第二步：觀察。第三步：假定。第四步：推理。第五：檢驗。”其中的假設就是對數學直覺得一種充分體現。通過具體情境中的學習，學生可以清晰地感知所學知識能夠解決什么類型的問題，又能從整體上把握問題依存的情境，這樣，學生就能牢固地掌握知識應用的條件及其變式，從而靈活地遷移和應用學到的知識。

2 重視解題教學，注重培養學生數形結合思維

華羅庚說過：“數缺形時少直覺，形缺數時難入微。”通過深入的觀察、聯想，由形思數，由數想形，利用圖形的直觀誘發直覺，對培養學生的幾何直覺思維大有幫助。教師應該把直覺思維在課堂教學中明確提出，制定相應的活動策略。

教學過程中，才能真正理解數學，體驗數學，掌握數學；也只有在“做數學”的過程中，才能發現數學，體驗樂趣，激發創造欲；也只有自己動腦!動手“做數學”才能學會用觀察、模仿、試驗、猜想和類比、分析、歸納等方法收集和處理材料，掌握數學，增長才干，逐步提高數學的創造思維能力。為使學生能真正動手“做數學”，應根據學生的實際做些調查研究，收集整理一些數據，并做出有關的結論或判斷，當然也可布置一些有創新意義的作業，例如：寫小論文，辦板報，提問題，征解答，辦數學主題會等生動活潑的活動來激發學生的創造欲。

3 大膽猜想，養成良好的數學思維習慣

數學猜想是一種合情推理，是一種或然性非邏輯方法，與論證所用的邏輯推理相輔相成。對于數學問題，猜想的形成有利于解題思路的正確誘導以及解題策略的發現。要培養和提高數學直覺能力，就必須養成敢于猜想、大膽探索的思維習慣。基本做法是鼓勵學習者不受形式邏輯的約束大膽地去猜想，并且促使其猜想向合理程度發展。

“跟著感覺走”這句話里已蘊涵著直覺思維的萌芽，只不過沒有把它上升為一種思維觀念。教師應該把直覺思維在課堂教學中明確的提出，制定相應的活動策略，從整體上分析問題的特征；重視數學思維方法的教學。諸如：換元、數形結合、歸納猜想、反證法等，對滲透直覺觀念與思維能力的發展大有裨益。

4 善待錯誤，培養自信心

很多時候，直覺會騙人。所以很多教師會用一些典型的例子告誡學生不要依賴直覺，并且為了考試不失分而反復強調，這無意中限制了學生的直覺思維的發展。其實直覺思維與創新能力一樣不是靠培養出來的，而是靠保護起來的。給學生嘗試創新的機會，不限制其創新的沖動。這是我們在培養創新能力上首先要做的。這就要求教師轉變教學觀念，把主動權還給學生。對于學生的大膽設想給予充分肯定。對其合理成分及時給予鼓勵，愛護、扶植學生的自發性直覺思維，以免挫傷學生直覺思維的積極性和學生直覺思維的悟性。

平時要給學生利用直覺思考問題的機會。不刻意限制其直覺思維的運用，當然同時也要通過例子當學生清楚的認識直覺思維的局限性。比如它常見的錯誤：一是忽視選取的范圍，從有限的、數量明顯不足的觀察對象中提出假設，作出結論；二是忽視數學統計規律，只從主觀判斷出發，對事物的偶然性作出必然性的結論。因而數學直覺的結論可能是錯誤的，這使得缺乏自信和勇氣的人不愿意去冒這個風險，害怕受到錯誤的指責。因此，善待學習者的錯誤，指出其數學猜想、數學直覺中的合理成分，培養學習者的自信心和勇氣，對培養和發展其數學直覺思維能力是極為重要的。因此要大膽猜想，小心求證。

數學的直覺思維能力的提高，依賴于數學知識和數學經驗的積累。在數學中有意識的對學生進行一些不完全歸納推理、類比推理(這是合情推理最常用的形式)的訓練，使學生能夠根據數學的直覺得到一些數學的發現，從而讓他們品嘗到一些成功的喜悅，提高他們對數學的學習熱情和信心，這無論對于培養高質量的具有創造性思維能力的人才，還是對提高課堂教學質量，都具有重大意義。