淺談高中立體幾何的學(xué)習(xí)

在我從教8年的時(shí)間中，我對(duì)立體幾何有著濃厚的興趣，自然研究的也多，立體幾何的研究對(duì)象是立體圖形，它是平面圖形的延伸和拓展，是中學(xué)數(shù)學(xué)的一個(gè)飛躍，同時(shí)還是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。作為初學(xué)立體幾何的同學(xué)，就需要特別注意圖形的學(xué)習(xí)和運(yùn)用，對(duì)立體幾何中的一些基本圖形要了如指掌，一些基本圖形，如正方體與四面體等，其特有的數(shù)量關(guān)系和位置為大多數(shù)學(xué)生所熟悉。如果掌握這些基本圖形，那么，我們就會(huì)發(fā)現(xiàn)，有相當(dāng)多的題目實(shí)際上就是以這些圖形為背景的，我們完全可以從基本圖形中進(jìn)行聯(lián)想，從而學(xué)好立體幾何。值得一提的是，在近幾年的高考中，也有相當(dāng)一部分題目，就是這些基本圖形中進(jìn)行命題的。立體幾何要求同學(xué)們有較強(qiáng)的空間想象能力。當(dāng)然也要能把立體圖形畫到平面上。

興趣是最好的老師。要學(xué)好立體幾何必須讓同學(xué)們感興趣，多想像，把空間圖形在腦子里想象出來(lái)，所以我每次上課都舉一些生活中的實(shí)例激發(fā)同學(xué)們的興趣，在第一節(jié)幾何課上我記得我提出這樣一個(gè)問(wèn)題，“一個(gè)有四個(gè)角的桌子，砍掉一個(gè)角，還剩幾個(gè)角?”一個(gè)學(xué)生不假思索的大聲說(shuō)：“還剩三個(gè)角!”另一個(gè)學(xué)生立馬提出反駁說(shuō)：“不對(duì)，應(yīng)該有五個(gè)角。”說(shuō)完心中還會(huì)為沒(méi)有受到表面的迷惑而沾沾自喜。結(jié)果仍然不對(duì)!其他的學(xué)生都在想著，回答著，六個(gè)，七個(gè)，八個(gè)等等，結(jié)果都不對(duì)，原因在于缺乏整體意識(shí)!桌子所剩角的個(gè)數(shù)，會(huì)受到所切位置的影響!因此應(yīng)該分類討論!合理恰當(dāng)?shù)姆诸愂钦_解決問(wèn)題的開(kāi)始，是從整體考慮問(wèn)題的具體體現(xiàn)。根據(jù)需要將研究對(duì)象進(jìn)行分類，然后對(duì)劃分的每一類分別求解，綜合后得到一個(gè)完整的答案，說(shuō)完這些，同學(xué)們都恍然大悟，怪自己太盲目。從而也激起了同學(xué)們學(xué)習(xí)的興趣。

其實(shí)立體幾何的題型不多，很容易掌握，常考的題型有：點(diǎn)到線的距離。線到線的距離，線面角，二面角，求體積，面積等問(wèn)題。

在教學(xué)方面我采用

一、變式教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生抽象意識(shí)

抽象是數(shù)學(xué)及一切理論科學(xué)的共同特點(diǎn)，科學(xué)抽象是理性思維的一種。抽象意識(shí)是指學(xué)生通過(guò)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)養(yǎng)成的一種思維習(xí)慣：不迷戀于事物的表面現(xiàn)象，自覺(jué)的從本質(zhì)上看問(wèn)題：自覺(jué)的把適當(dāng)?shù)膯?wèn)題抽象概括出數(shù)學(xué)模型，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題。

變式是指變換問(wèn)題的條件和結(jié)論，變換問(wèn)題的形式，而問(wèn)題的實(shí)質(zhì)不變，以便從不同的角度、不同的方面來(lái)說(shuō)明問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，使本質(zhì)的東西更全面、更突出的顯露出來(lái)。這個(gè)不斷的尋找問(wèn)題本質(zhì)的過(guò)程就是抽象的過(guò)程。

例如：已知兩條直線a、b交于點(diǎn)P，所成角為50°，則過(guò)點(diǎn)P與a、b所成角都是30°的直線有且僅有____條。

學(xué)生利用手里的三支筆，很快就可以擺出圖形，得到答案是兩條。

再問(wèn)：如果將結(jié)論中的30°改成其它的角度，會(huì)不會(huì)影響結(jié)論呢?

很快有人回答“會(huì)影響結(jié)論，因?yàn)槿绻某?0°，滿足題意的直線就只有一條了。”經(jīng)過(guò)同學(xué)們的相互補(bǔ)充總結(jié)出：過(guò)點(diǎn)P與直線a、b所成角相等且在范圍(0，25°)的直線不存在，所成角都是25°的直線有一條，所成角相等且在范圍(25°，65°)的直線有兩條，所成角都是65°的直線有三條，所成角相等且在范圍(65°，90°)的直線有四條，所成角都是90°的直線有且僅有一條。

至此，我們由一個(gè)簡(jiǎn)單的題目出發(fā)，不斷的改變它的條件，逐漸的發(fā)現(xiàn)了它的一般化命題，這種由特殊到一般的過(guò)程就是抽象的過(guò)程，實(shí)際上也是發(fā)現(xiàn)問(wèn)題本質(zhì)的過(guò)程通過(guò)改變問(wèn)題呈現(xiàn)的形式，最終準(zhǔn)確的發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的本質(zhì)。是數(shù)學(xué)對(duì)思維的一個(gè)最直接的影響。

二、探究方法，培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)

創(chuàng)造性思維是指：在分析問(wèn)題和解決問(wèn)題過(guò)程中。能廣泛的深刻的進(jìn)行思維，發(fā)現(xiàn)和解決自己或別人所未發(fā)現(xiàn)或未解決的問(wèn)題。創(chuàng)造性的特征是：探索，進(jìn)攻，突破。創(chuàng)新。因此，一個(gè)具有創(chuàng)造性思維的人也就具有了創(chuàng)新意識(shí)。

立體幾何來(lái)源于生活，教師有目的的針對(duì)某一問(wèn)題，提出幾個(gè)探案的方向和要求，讓學(xué)生進(jìn)行觀察、試驗(yàn)、分析、比較、綜合、整理，使之條理化、系統(tǒng)化，再給出證明，這個(gè)過(guò)程就是探究的一種形式。

常見(jiàn)問(wèn)題(俗稱墻角問(wèn)題)：觀察(長(zhǎng)方體形狀的)教室的一個(gè)墻角，看到三個(gè)互相垂直的平面。作一個(gè)截面可得一個(gè)四面體，這個(gè)四面體有三個(gè)面為直角三角形。請(qǐng)問(wèn)：另一個(gè)面是什么三角形?其所對(duì)頂點(diǎn)的射影落在什么位置?你還能發(fā)現(xiàn)哪些性質(zhì)?

這個(gè)問(wèn)題與學(xué)生離的很近，容易引起學(xué)生的興趣。教師走下講臺(tái)。與同學(xué)們一起討論。不時(shí)提醒同學(xué)所猜想的結(jié)論可能出現(xiàn)的問(wèn)題，將一些同學(xué)的發(fā)現(xiàn)公之于眾，以引起更大范圍的猜想，并提醒同學(xué)對(duì)認(rèn)為錯(cuò)誤的猜想舉出反例，認(rèn)為正確的猜想給出證明。同學(xué)們的猜想五花八門。

推理意識(shí)包括歸納、類比、演繹推理的自覺(jué)意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的推理意識(shí)就是使學(xué)生養(yǎng)成落筆有據(jù)，言之有理的習(xí)慣。立體幾何教學(xué)的重點(diǎn)就包括使學(xué)生掌握演繹推理的基本思想。另外教學(xué)中對(duì)于歸納推理和類比推理也要給與充分的重視，這兩種推理具有發(fā)現(xiàn)新知識(shí)、新結(jié)論的功能，對(duì)鍛煉思維的靈活性很有好處，但要特別注意，歸納類比的結(jié)論不一定正確，必須經(jīng)過(guò)嚴(yán)格的證明才能確信。

以上兩，最是我在教學(xué)中常采用的方法，針對(duì)立體幾何與平面幾何的關(guān)系，依據(jù)立體幾何的直觀模型精心選擇內(nèi)容，適當(dāng)選擇教學(xué)的方式，就可以使問(wèn)題簡(jiǎn)單化，知識(shí)系統(tǒng)化，同時(shí)體現(xiàn)立體幾何獨(dú)特的思維方式。

在同學(xué)們做題方法上我建議同學(xué)們善于采用向量法。傳統(tǒng)方法解決立體幾何問(wèn)題，通常都必須添加輔助線，并且要經(jīng)過(guò)各種手段進(jìn)行轉(zhuǎn)化，它具有較大的靈活性，學(xué)生掌握起來(lái)比較困難。空間向量的引入，給傳統(tǒng)的立體幾何內(nèi)容注入了新的活力，向量是既有大小又有方向的量，既具有圖形的直觀性，又有代數(shù)推理的嚴(yán)密性，是數(shù)形結(jié)合的一個(gè)很好的橋梁。而空間向量是處理空間問(wèn)題的重要方法，通過(guò)將空間元素問(wèn)的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系。將過(guò)去的形式邏輯證明轉(zhuǎn)化為數(shù)值計(jì)算，化繁難為簡(jiǎn)易，化復(fù)雜為簡(jiǎn)單，為學(xué)生處理某些立體幾何問(wèn)題提供了的新視角。借助空間向量這一工具，可以降低思維難度，增加了可操作性，從而減輕了學(xué)生負(fù)擔(dān)，使他們對(duì)立體幾何更容易產(chǎn)生興趣。

由上述的解答，可以看到傳統(tǒng)方法解決立體幾何問(wèn)題，過(guò)程、圖形都比較復(fù)雜，特別是第(II)問(wèn)。而用向量解答目標(biāo)明確，在未計(jì)算之前，就已經(jīng)知道結(jié)果了，證明的過(guò)程只是計(jì)算驗(yàn)證，通過(guò)空間直角坐標(biāo)系，把復(fù)雜的幾何證明轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的代數(shù)計(jì)算，學(xué)生對(duì)于代數(shù)運(yùn)算較熟悉。避免了傳統(tǒng)方法造成邏輯推理上的不便和由于輔助線的添加造成圖形的復(fù)雜化等問(wèn)題，相比傳統(tǒng)方法更容易接受和掌握。因此，空間向量是處理立體幾何問(wèn)題的強(qiáng)有力工具。

對(duì)于常見(jiàn)的正方體、長(zhǎng)方體、正棱柱、正棱錐，由于容易建立空間直角坐標(biāo)系和確定坐標(biāo)，以算代證的優(yōu)勢(shì)更容易體現(xiàn)。培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的邏輯思維能力是教學(xué)立體幾何的重要任務(wù)，因此，傳統(tǒng)的方法也不能放棄，應(yīng)注重二者的有機(jī)結(jié)合，使之相互呼應(yīng)，相得益彰。

以上就是我對(duì)立體幾何學(xué)習(xí)的淺顯認(rèn)識(shí)，有不當(dāng)之處還請(qǐng)各位專家多多指教。