關于一道解析幾何題的思考和探究

例題已知拋物線c:y=2x2，直線y=kx+2交c于A、B兩點，M是線段AB的中點，過M作x軸的垂線交c于N。（1）證明：拋物線c在點N處的切線與AB平行；（2）是否存在實數k，使A·B=0，若存在，求K的值；若不存在，說明理由。

首先由（1）的論證，我們想到下面幾個問題：

問題1：將過N的切線平移后，若與拋物線c相交于兩點E、F，那拋物線的弦EF是否被直線MN平分？

問題2：若拋物線c的一條弦EF被直線MN平分，MN‖AB嗎？

問題3之一：橢圓和雙曲線有沒有類似上面的結論呢？經探究發現問題1、問題2是成立的，于是我們獲得更一般的結論。定理1：若AB、EF是拋物線X2=2PY，（P＞0）的兩條弦，則AB‖EF的充要條件是過弦AB、EF中點M、N的直線MN平行于y軸。證明：略。推論：若AB、EF分別是拋物線c:x2=2py（P＞0）的一條弦和一條切線，M是弦AB中點，EF和拋物線C切于N點，則AB‖EF的充要條件是MN平行于y軸。

問題3之二：橢圓和雙曲線有沒有類似上面的結論呢？由于拋物線從廣義角度可以看成中心在無窮遠點，所以上述拋物線c的弦AB、EF中點連線MN平行于拋物線的對稱軸（y軸）可以認為MN是過拋物線的中心的一條直線，所以對于有心曲線橢圓和雙曲線來說，我們有下列的結論：定理2：若AB、EF分別是橢圓：c:=1，(a＞b＞0) (或雙曲線=1，(a＞0，b＞0)的兩條弦（不過原點），M、N分別是弦AB、EF中點，則AB‖EF的充要條件是M，N，O三點共線。證明：略。推論：若AB、EF分別是橢圓c(a＞b＞0) (或雙曲線1(a＞0，b＞0))的一條弦（不過原點）和切線，M是弦AB中點，直線EF與橢圓c相切于點N，則AB‖EF的充要條件是M、N、O三點共線。

問題4：AB、EF是拋物線c:x2=2py(P＞0)的兩條弦，M、N分別是弦AB、EF中點，那么直線AE、BF交點是否在直線MN上？

問題5：AB是拋物線c:x2=2py(P＞0)的一條弦，M為AB，過M作直線L平行于y軸，在L上任取一點P，連接PA、PB分別交拋物線c于E，F兩點，那么AB‖EF嗎？經過本人的研究，上述兩個問題都是成立的，于是有定理3：若AB、EF是拋物線c:x2=2py(P＞0)的兩條弦，M、N分別是弦AB、EF中點，則AB‖EF的充要條件是AE、BF、MN三條直線共點。證明：（先證充分性）（后證必要性）可證AE、BF、MN三條直線共點(步驟略)，由證明可見：定理3成立。

問題6：在定理3中，弦AB不動，EF平移到與拋物線c:x2=2py相切，過A、B分別作拋物線c的兩切線AP、BP，AP、BP相交于點P，那么點P是否在MN上？經論證，我們得到定理3的推論：推論1：過拋物線c:x2=2py(P＞0)的弦AB兩端點分別做拋物線c的兩條切線AP、BP，點P在直線MN上。推論2：過拋物線c:x2=2py(P＞0)的弦AB的端點A作拋物線c的切線AP交MN于P點，則直線PB與拋物線相切。

問題7：拋物線與橢圓、雙曲線是相互聯系的，橢圓和雙曲線是否具有定理3相似結論呢？通過進一步探究，我們有下列結論：定理4：AB、EF是橢1(a＞b＞0) （或雙曲線=1(a＞b＞0) 的兩條弦（不過原點），M、N分別是弦AB、EF的中點，則AB‖EF的充要條件是AE、BF、MN三條直線共點。

推論：AB是橢1(a＞b＞0)（或雙曲1）一條弦（不過原點）M是弦AB的中點，直線AP、BP是橢圓的兩條切線，則P點在直線OM。

（三原縣北城中學）