波利亞“怎樣解題表”的研讀與實踐

喬治·波利亞（George Polya，1887—1985）是20世紀杰出的數學家、偉大的數學教育家、享有國際盛譽的數學方法論大師。波利亞十分重視解題在數學教學中的作用，為了回答“一個好的解法是如何想出來的”這個令人困惑的問題，他對解題的思維過程進行了多年的專門研究和實踐，其解題思想集中反映在他的《怎樣解題》一書中，該書的核心是分解解題的思維過程得到的一張“怎樣解題表”。這張包括“弄清問題”“擬訂計劃”“實現計劃”和“回顧”四部分內容。弄清問題是為好念頭的出現作準備；擬訂計劃是試圖引發它；在引發之后，我們實現它；回顧此過程和求解的結果，是試圖更好地利用它。所有這一切，使得數學解題的研究擺脫了就題論題的狹窄天地，進入到規律探索的較高層次。從解題論的觀點看，這實際上是既提出了“怎樣解題”又提出了“怎樣學會解題”的問題。

一、波利亞的“怎樣解題”表

第一步：你必須弄清問題。（弄清問題）

(1)已知是什么？未知是什么？條件是什么？滿足條件是否可能？要確定未知數，條件是否充分？或者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？

(2)畫張圖，將已知標上。

(3)引入適當的符號。

(4)把條件的各個部分分開，你能否把它們寫下來？

第二步：找出已知與未知的聯系(如果找不出直接的聯系，你可能不得不考慮輔助問題。你應該最終得出一個求解的計劃)。(制訂計劃)

(1)你以前見過它嗎？你是否見過相同的問題而形式稍有不同？

(2)你是否知道與此有關的問題？你是否知道一個可能用得上的定理？

(3)看著未知數！試想出一個具有相同未知數或相似未知數的熟悉的問題。

(4)這里有一個與你現在的問題有關，且早已解決的問題。你能不能利用它？你能利用它的結果嗎？你能利用它的方法嗎？為了能利用它，你是否應該引入某些輔助元素？你能不能重新敘述這個問題？你能不能用不同的方法重新敘述它？

(5)回到定義去。

(6)你能否解決問題的一部分？如果你不能解決所提出的問題，可先解決一個與此有關的問題。我能不能想出一個與此有關的問題？一個更普遍的問題？一個更特殊的問題？一個類比的問題？你能否解決這個問題的一部分？僅僅保持條件的一部分而舍去其余部分，這樣對于未知數能確定到什么程度？它會怎樣變化？你能不能從已知數據導出某些有用的東西？你能不能想出適于確定未知數的其他數據?如果需要的話，你能不能改變未知數或數據，或者二者都改變，以使新未知數和新數據彼此更接近？

(7)你是否利用了所有的條件？你是否利用了整個條件？你是否考慮了包含在問題中的所有必要的概念？

第三步：實行你的想法。（實現計劃）

(1)實現你的求解計劃，勇敢地寫出你的方法，并檢驗每一步驟。

(2)你能否說出你所寫的每一步的理由？你能否清楚地看出這一步驟是正確的？

第四步：驗算所得到的解。（回顧）

(1)你能否一眼就看出結論？

(2)你能否用別的方法導出這個結論？

(3)你能否把這個題目或這種方法用于解決其他的問題？

二、對“怎樣解題”表的研讀

波利亞的“怎樣解題”表(樸實無華的解題表)，其特點是：明顯的普遍性與常識性；一連串的發問，給出思路與建議；提出的問題驅動解題者的思維按一定方向搜索、加工、分析、應用信息。

改為現行的解題四程序：審題；思索解法；實施解題計劃；檢驗、回顧、引拓。

1. 審題（解題的基礎與前提）

解題者運用元認知結構，通過觀察、試驗、歸納演繹、分析綜合、抽象概括、類比、聯想等方法對問題進行模式識別，以形成深刻的連貫的表象(包括對已知信息、目標狀態的清晰完整的認識，明確允許施行的運算規定與操作要求，必要時用圖表形象地表明已知、目標及其之間的聯系)，審題的結果要寫出形式化的數學表達式。

2. 思索解法(解題的關鍵)

解題者在審題獲取信息的激勵下啟動思維，剖析問題結構、尋找解題方法、探索解題途徑、制訂解題方案。剖析問題結構通過：(1)回想(自覺在腦中過一遍)：見過此題嗎？見過相同的條件、結論、圖形(像)嗎？(2)聯想：見過類似有關的問題、條件、結論、圖形(像)嗎？(3)類比：可否利用類似的條件、結論與思想方法？(4)變換：對問題進行適當的必要的變換，把它化歸為與此有關的問題。(5)構造：創設輔助條件(包括輔助圖形、函數、元素等)以揭示已知與目標之間的聯系。尋找解題方法：即思考解決問題大致需要哪些知識、方法。探索解題途徑：應用各種思維方法探求思路(大膽地試驗、猜想大致的思路，再去檢驗、修正)。制訂解題方案：制訂分步實施程序。

3. 施解題計劃(解題的主體工作)

解題者按制訂的解題計劃與程序，實施變換、運算、推理、作圖，得問題的解。要注意運算的合理性，作圖的準確性，推理的嚴密性，以及表述的條理性、規范性。

4. 檢驗、回顧、引拓(解題的必要程序)

檢驗：答案是否正確、合理、完整？每一步推理是否有理有據？運算是否準確？過程是否有疏漏或繁冗多余之步驟？(事實上，在解題過程中及解答后均要檢驗)回顧：本解法可否改進或簡化？可否有其他的解法？總結規律及思想方法的本質，以得出一類問題的基本解法。引拓：從不同角度對問題本身展開研究，問題的條件、結論或整個問題的變換、引申、推廣所得到的問題有什么規律？

三、“怎樣解題”表的實踐

例 已知：a1，a2，a3…，an是n個正數，且滿足a1·a2·a3……an=1。

求證：（2+a1)·(2+a2)……(2+an)≥3n。

解題過程：

1. 審題

代數問題，條件不等式的證明。目標式結構特征：左邊為n個相同結構因式的乘積；右邊為與a1無關之3n，

2. 思索解法

(1)回想：見過此題嗎？(沒有)

(2)聯想：見過類似問題嗎？(見過)

已知：a1，a2，a3…，an是n個正數，且滿足a1·a2·a3……an=1，求證： (1+a1)·(1+a2)……(1+an)≥2n。

(3)類比：可否利用類似的條件、結論與思想方法？

∵ 2+ai≥2(i=1，2，…，n)， 相乘得（2+a1)·(2+a2)……(2+an)≥(2)n，但(2)n≥3n不成立。

(4)分析失敗原因：原解1+ai≥2（i=1，2，…，n）等號成立的充要條件ai=1可以滿足，但2+ai≥2 （i=1，2，…，n）等號成立的充要條件ai=2，已知條件不滿足，與a1·a2·a3……an=1矛盾。可見在a1·a2·a3……an=1條件下，2+ai≥2縮小過度。

(5)變換：對問題進行適當的必要的變換，把它化歸為與此有關的問題。

盯住目標（2+a1)·(2+a2)……(2+an)≥3n中的“3”，出現在均值不等式中的數需三個。

(6)調整思路：變換條件2+ai=1+1+ai≥333 (i=1，2，…，n)， 相乘得（2+a1)·(2+a2)·L·(2+an)≥3n當且僅當a1=a2=L=an=1時“=”成立。

3. 表述解法（略）

4. 回顧

(1)在解題方法上，這個案例是綜合法證明不等式的一次成功應用。

(2)在知識上，這個案例是不等式的基本性質、基本不等式的一次成功應用。

(3)可否有其他的解法？

與n有關的命題，可以用數學歸納法證明。

當n=1時，2+a1=3≥31成立。

假設當n=k時，有（2+a1)·(2+a2)……(2+ak)≥3k成立，

那么當n=k+1時，須在條件a1·a2·a3……ak·ak+1（ai>0）下，證明（2+a1)·(2+a2)……(2+ak)·(2+ak+1)≥3k+1。

如果ai中至少一個為1，不妨設ak+1=1，則2+ak+1=3，由假設得（2+a1)·(2+a2)……(2+ak)·(2+ak+1)≥3k·3=3k+1。

如果ai均不為1，由a1·a2·a3……ak·ak+1=1（ai>0）知ai中至少有一個大于1，且至少有一個小于1，不妨設ak+1>1，ak<1，

根據a1·a2·a3……ak·ak+1=1（ai>0），由歸納假設得（2+a1)·(2+a2)……(2+ak-1)(2+akak+1)≥3k，即（2+a1)·(2+a2)……(2+ak-1)(6+3akak+1)≥3k+1，只需證明(2+ak)·(2+ak-1)≥6+3akak+1即可。

即證ak+ak+1-1-akak+1≥0，

即證(1-ak)·(ak+1-1)≥0，

而∵ak+1>1，ak<1，上式顯然成立。

綜上，對?坌n∈N*，a1·a2·a3……an=1且ai>0，都有 (1+a1)·(1+a2)……(1+an)≥2n。

(4)引申、推廣所得到的問題有什么規律？

拓廣已知：a1，a2，a3…，an是n個正數，且滿足a1·a2·a3……an=1，求證：(m+a1)·(m+a2)……(m+an)≥(m+1)n。證明類似，讀者不妨一試。

四、小結

有此表，不能企望一定可以解決所有的問題，但可以使解題者較快地打開思路，提高解題成功的可能性。因而，當教師恰當地向學生提出表中的問題和建議時，有可能達到兩個密切關注的目的：第一，幫助學生解決手頭的問題；第二，培養學生將來能夠獨立解題的能力。

（南通市通州區三余中學）