一道橢圓問題引發的思考

題目:(2010上海理23)已知橢圓的方程為+=1(a>b>0)，點P的坐標為(-a，b).(1)若直角坐標平面上的點M，A(0，-b)，B(a，0)滿足=(+)，求點M的坐標;(2)設直線l2∶y=k1x+p交橢圓于C，D兩點，交直線l2=k2x于點E.若k1#8226;k2=-，證明:E為CD的中點;(3)略.

思路點撥:(1)可設M(x，y)，然后將A，B，P，M點坐標代入=(+)中，可以得(x+a，y-b)=[(a，-2b)+(2a，-b)]，求出x=，y=-，則M(，-).

(2)分析一:先將直線l1∶y=k1x+p與+=1聯立，消去y(或x)得方程(a2k21+b2)x2+2a2k1px+a2(p2-b2)=0，又直線l1∶y=k1x+p與橢圓有兩個交點C、D，則首先判別式△>0，可以得到a2k21+b2-p2>0，同時設C(x1，y1)，D(x2，y2)，CD中點坐標為(x0，y0)，則x1，x2是方程(a2k21+b2)x2+2a2k1px+a2(p2-b2)=0的兩個根，則由韋達定理得x1+x2=-，x1#8226;x2=，而CD中點坐標為(x0，y0)，且CD的中點在直線l1∶y=k1x+p，所以x0==-，y0=k1x0+p=，然后將直線l1∶y=k1x+p與直線l2=k2x聯立，求出交點E的坐標(，)，由已知條件k1#8226;k2=-，觀察CD的中點坐標發現沒有含k2，所以將k2=-代入E的坐標中，得到E(-，)，由此E點與CD的中點重合，所以就證明了E為CD的中點.此種證明問題的方法稱為“同一法”.

分析二:因為C，D在橢圓上，則有+=1與+=1，將兩式相減則有+=0=-…①，又C，D在直線l1∶y=k1x+p上，所以有=k1…②，設CD中點坐標為(x0，y0)，則由①②可得k1y0=-x0，又k1#8226;k2=-，則y0=k2x0，表示(x0，y0)在直線y=k2x，所以就證明了E為CD的中點.此種證明問題的方法稱為“點差法”，主要是利用設而不求來解決問題.

思考一:“點差法”的應用背景:1. 曲線最好是封閉的，如圓、橢圓等，對于開放性的曲線，如雙曲線、拋物線等慎用;2. 一般會涉及直線以及中點.

思考二:第(2)問可以推廣成橢圓的一個性質:橢圓上任意一弦和弦中點與中心的連線斜率之積等于定值-.要證明這個命題，我們可以先證明一個相關命題:若AB是過原點的橢圓+=1(a>b>0)的一條弦，P是橢圓上任意一點，則P與A，B連線斜率之積為定值-.

證明:由橢圓對稱性可設，A(x1，y1)，B(-x1，-y1)且P(x，y)，則kAP#8226;kBP=#8226;=，又A，B，P都在橢圓上，∴+=1與+=1，兩式相減整理得kAP#8226;kBP==-.如果取PB的中點為M，由三角形中位線的性質，可知OM∥AP，于是kOM=kAP，有kOM#8226;kAP=-.于是得到上述橢圓性質.

練習1.(2010天津理20)已知橢圓+=1(a>b>0)的離心率e=，連接橢圓的四個頂點得到的菱形的面積為4.(1)求橢圓的方程;(2)設直線與橢圓相交于不同的兩點A，B，已知點A的坐標為(-a，0)，點Q(0，y0)在線段AB的垂直平分線上，且#8226;=4，求y0的值.

解析:(1)易知橢圓的方程為+y2=1;

(2)設直線l的斜率為k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中點M的坐標為(x中，y中)，則由“點差法”有ky中=-…①.又A(-a，0)，以及中點(x中，y中)，則k=…②. ①②聯立，則B(，)，AB的中點M的坐標為

(-，)，后面的分析略.y0=±2或±.

練習2. 已知橢圓+=1(a>b>0)的長軸兩端點分別為A，B，若橢圓上存在點M，使得∠AMB=120°，求橢圓離心率e的最小值.

解析:由上述橢圓的性質可知，kAM#8226;kBM=-，令kAM>0，kBM<0，故tan∠AMB=tan120°==-[kAM+(-kBM)]≤-#8226;2=-，即-≤-c2≥2ae2≥2e∈[，1]，故橢圓離心率的最小值為.

責任編校徐國堅