靈活選擇主元,巧解含參數不等式恒成立問題

含參數不等式恒成立問題是高中數學中常見問題，它以覆蓋知識點多，綜合性強，解法靈活等特點而倍受高考、競賽命題者的青睞.本文就結合實例談談靈活選擇主元，巧解“含參數不等式恒成立問題”.

含參不等式恒成立的問題通常有兩個或兩個以上變量，在給出含有變量的不等式中，如何選擇主元，才能達到巧解?請看例題:

例1 對任意t∈[-1，1]，不等式x2+(t-4)x+4-2t>0恒成立，求x的取值范圍.

分析 當選取t是主元時，則x是參數.構造以t為自變量的函數 f(t)=(x-2)t+x2-4x+4，則原問題轉化為:當t∈[-1，1]時，f(t)>0恒成立.因為f (t)=(x-2)t+x2-4x+4(t∈[-1，1])的圖像是一條線段，故當t∈[-1，1]時，f(t)>0恒成立等價于f (1)>0，f (-1)>0，解之得:x<1或x>3，故x的取值范圍為(-∞，1)∪(3，+∞).

當選取x是主元時，則t是參數.把不等式x2+(t-4)x+4-2t>0轉化成關于t的不等式(2-x)t-(x2-4x+4)<0，即當t∈[-1，1]時，(2-x)t<(2-x)2恒成立，下面對x分三種情況討論:

(1)當2-x>0，即x<2時，得t<2-x，因為t∈[-1，1]，所以2-x>1，即x<3;

(2)當2-x=0，即x=2時，得0×t<0，不成立，故x≠2;

(3)當2-x<0，即x>2時，得t>2-x，因為t∈[-1，1]，所以2-x<-1，即x>1.

綜上所述，x的取值范圍為(-∞，1)∪(3，+∞).

總結規律 方法一簡單易懂，數形結合，方法二雖然可行，但要通過對x進行分類討論，比較麻煩.通過這道題，我們掌握當把題目中給出范圍的變量當作主元，要求范圍的變量當參數時，更容易理解、更好解決.

例2 已知f (x)=4x+ax2-x3(x∈R)在區間[-1，1]上是增函數，實數a的值組成的集合A，設關于x的方程 f(x)=2x+x3的兩個非零實根為x1，x2.試問:是否存在實數m，使得不等式m2+tm+1≥x1-x2對任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立?若存在，求m的取值范圍;若不存在，請說明理由.

分析 首先利用導數容易求A={a│-1≤a≤1}. 然后求方程f (x)=2x+x3的兩個不為0的實根x1，x2，由f (x)=2x+x3得x3-ax2-2x=0，所以x=0或x2-ax-2=0，當x2-ax-2=0時，△=a2+8>0，方程x2-ax-2=0的兩個實根就是方程f (x)=2x+x3的兩個非零實根x1，x2，所以x1-x2=，a∈[-1，1].最后把使不等式對任意a∈[-1，1]及t∈[-1，1]恒成立轉化為:

當a∈[-1，1]及t∈[-1，1]時，不等式m2+tm+1≥恒成立.此時不等式涉及m，a，t三個變量，首先把a當作主元，由a∈[-1，1]，得≤3，則原問題等價于:當t∈[-1，1]時，不等式m2+tm+1≥3恒成立.然后把t當作主元，記h(t)=mt+(m2-2)，t∈[-1，1]，函數 h(t)=mt+(m2-2)，t∈[-1，1]的圖像表示在[-1，1]上的一條線段，要使問題恒成立的充要條件是h(-1)≥0，h(1)≥0，即-m+m2-2≥0，m+m2-2≥0，解得m≤-2或m≥2.

總結規律 由于常見的思維定勢，以m為主元，把m2+tm+1≥看成關于m的不等式進行分類討論，討論復雜，計算量大，若變換一個角度，由于變量a能單獨分離出來，先以a為主元，記y= ，a∈[-1，1]，利用二次函數性質可得y=≤3;把三元問題轉化為二元后，由于題目給出t的范圍，我們以t為主元，記h(t)=mt+m2-2，t∈[-1，1]，巧用函數的圖像是一條線段， 把原問題恒成立轉化為使線段的兩個端點的縱坐標h(-1)≥0及h(1)≥0同時成立即可，從而巧妙地解決這一難題. 在含有三元的“含參數不等式恒成立問題”中，首先看哪一個元可以較好地分離出來，把它當作主元，利用函數的最大(小)值轉化一個新的恒成立的不等式，達到消元目的，把三元問題轉化為二元.

請同學們完成下面練習:

1.已知函數f(x)=對任意實數x，y都有f (x+y)=f (x)+f (y)+3xy(x+y+2)+3，f (1)=1，若t∈N，且t≥4時， f(t)≥mt2+(4m+1)t+3m恒成立，求m的最大值.(答案:mmax=3)

2.已知數列{an}中，a1=2，an-an-1-2n=0(n≥2，n∈N)設bn=+++…+，若對任意的正整數n，當時n∈[-1，1]，不等式t2-2mt+>bn恒成立，求實數t的取值范圍.(答案:t的取值范圍為(-∞，-2)∪(2，+∞))

責任編校徐國堅