掌握問題的本質,就是延伸

摘要在開放式環境中，在挖掘教材內涵的基礎上，運用“延伸式”教學方法，逐級深入研究題目(1)所蘊藏的數學功能、發展功能和教育功能，揭示問題的本質，展現數學應用的廣泛性，優化教學過程，提高教學效益，使學生在重新認識、理解與歸納知識網絡的同時，也能獲得良好的思維品質和駕馭知識的能力。

關鍵詞延伸 變式習題 思維發散 創新能力

中圖分類號:G633.6文獻標識碼:A

高中數學教材《立體幾何》中有些例題本身就是具有很強的應用性，在課堂教學中，如果我們能注意利用這些習題的思想方法去解決相關的變式習題及延伸性綜合題，這樣不但能拓寬學生的思維空間，而且能促使學生通過一個問題學會解決一串問題的本領，提高數學思維能力。

題目(1)《立體幾何》(必修本)P117第2題，如圖，AB是園O的直徑，PA垂直于圓O所在的平面，C是圓周上異于A、B的任意點，求證△PAC所在的平面垂直于△PBA所在的平面。

1 潛入式提問，鼓勵學生參與

把題目(1)結論變成開放性問題，讓學生人人參與。引導學生多角度、多側面、多層次思考，探究題目(1)級基本屬性。

①你能從圖(1)中找出所有的Rt△嗎?

②你能從圖(1)中找出幾組直線垂直于平面?

③你能從圖(1)中找出幾對相互垂直的平面?

④你能從圖(1)中找出三垂線定理的影子嗎?

經過對①-④的逐級潛入式探究，學生初步認清了圖形。然而學生的認識有待深化，獲得的知識有待于提高。進一步提出:

⑤你能找出圖(1)中P-BC-A二面角的平面角嗎?

⑥你能找出圖(1)中B-PC-A二面角的平面角嗎?

⑦你能找出圖(1)中C-PB-A二面角的平面角嗎?

關鍵是⑦由學生嘗試、交流、討論，教師“點撥”、歸納如下:

方法1(直接法)

作AE⊥PB于E ，EF⊥PB交PC于F→∠AEF就是所找的角。

鑒于不易算求，須證AF⊥PC.

方法2(間接法):

作AE⊥PB于E， AF⊥PC于F， 連接EF→EF⊥PB

∠AEF就是二面角C-PB-A的平面角。

運用習題變式教學時，應當充分重視其潛在的功能，過提出類似的問題和對上述各問題的進一步探究、討論和概括，不僅大大提升了教師的教學空間，也使學生在弄清平面角概念內涵和外延的基礎上，同時拓寬了思維空間，更加使學生的探究能力和創新能力得到發展。

2 突出問題變式、同化，深化認識

認識新事物的過程，不是獨立于大腦外的知識世界進行的發明創造，而是應用已有的方法和知識去分析、重組、同化新問題，數學課堂教學正是著眼于這樣的教學目的前提下，致力于將多向性、多層次的交互作用引進教學過程，以消除學生對新問題的神秘感、畏懼感，克服自身的思維和心理定勢，這樣不僅可以吸引學生自主學習和主體智力參與，更能喚起學生到未知領域去進行探索的欲望，而且深化了對題目(1)的動態認識。

題目(2):如圖AB于平面∝所成的角是1，AC，AC和AB的射影AB’成2角，設∠BAC=，求證:COS1COS2=COS。

題目(3):如圖，正四棱錐P-ABCD，側棱為1，側面與底面成角，求這個棱錐的體積V。

題目(4):如圖，OQ為圓錐SO的底面⊙O的一條半徑，且OQ=20cm，OQ與母線SA互相垂直，P為SA的中點，PQ與SO所成的角的正切值為2，求圓錐的體積。

教學實踐表明，使學生解決數學問題的過程成為學生學習數學知識再創造的過程，是一種積極鼓勵學生主動學習的教學策略，具有潛移默化的教育功能，能明顯起到激發學生學習數學的興趣。本文在不改變知識的本質特征的前提下，通過對題目(2)、(3)、(4)分解、同化、重組，變換問題自身非本質的特征。既有效的避免了學生在知識和能力層次同一水平上的簡單重復，同時又創造性地將知識、能力和思想方法寓于更高的層次中反復滲透，讓學生不斷在不同的新情境應用中加強對問題本質特征的理解，達到螺旋式的再認識、再深化乃至升華的學習效果。

3 變式習題延伸，抓住問題本質

羅增儒先生曾經說過:“看透本質就可以延伸”，數學習題變式教學中，若能引導學生對同一來源材料，多角度、全方位思考問題，尋求同類問題的解題規律，這不僅能強化學生對基礎知識的理解和掌握，而且對拓廣思路，啟迪學生的發散性思維能力也大有裨益。本文正是通過潛入式問題變式，讓學生對題目(1)認識、再認識，使學生認清了問題本質，提高了對幾何圖形的認識的敏銳性和實用性。無論是從解題本身，還是從智力開發角度，都會取得事半功倍的效果。而題目(1)堪稱立幾經典，它濃縮了立幾之精華，幾乎在歷屆高考中都有展現，如1995年24題、1996年23題、1998年23題、1999年21題、2000年18題、2001年17題。下面具體探究1998年、2001年高考題目(1)是如何展現的。

1998年23題:如圖，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的側面A1ACC1與底面ABC垂直，∠ABC=90€啊C=2AC=2√3 ，且AA1⊥A1C，AA1=A1C

①求側棱A1A圖底面ABC所成二面角的大小。

②求側面A1ABB1與底面ABC所成二面角的大小。

③求頂點c到側面A1ABB1的距離。

2001年7題:如圖，在底面是直角梯形的四棱錐S—ABCD中，∠ABC=90€埃琒A⊥面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=1/2

①求四棱錐S—ABCD體積;

②面SCD與面SBA所成的二面角的正切值。

綜上所述，《立體幾何》中，如題目(1)這樣有應用價值的習題還很多，它們在解相關的變式習題時，在實現學生學習過程中完成知識遷移、認識升華、思維發散等方面都發揮了較大的作用，教學時應引起足夠的重視。本文通過題目(1)的專題探究延伸，并巧設思維情境，循循善誘指導學生利用已有的知識去探究問題本質，使學生的創新和實踐能力得以激發，同時又優化了學習過程，提高了學習效率和教學質量，不失為培養學生創造性思維的一條有效途徑。