例談概率學(xué)習(xí)之誤區(qū)及其對策

一、概率學(xué)習(xí)中的認(rèn)知誤區(qū)分析

1 生活經(jīng)驗和直覺的誤區(qū)

受生活經(jīng)驗和商覺誤區(qū)的影響，學(xué)生對隨機(jī)現(xiàn)象問題經(jīng)常反應(yīng)遲鈍甚至誤解，教學(xué)上需要幫助學(xué)生澄清一些日常生活經(jīng)驗和直覺的錯誤認(rèn)識。例如，在投擲硬幣的概率問題中：

(1)投擲一次：反面朝上；

(2)投擲兩次：先正面朝上，然后是反而朝上；

(3)若已經(jīng)投擲了5次硬幣并且得到的全是正而朝上，則再投擲一次，你認(rèn)為正面向上還是反面向上的概率大?

雖然這個問題涉及事件發(fā)生的獨立性，對于初三學(xué)生還是可以理解的，然而當(dāng)讓他們找尋：這個問題進(jìn)行分析時，可以看到很多學(xué)生會認(rèn)為正而向上的概率大，這主要是借助于學(xué)生自己的直覺，但是事實與人們的直覺之間有很大差異，或者說學(xué)生有認(rèn)知上的誤區(qū)，無法用隨機(jī)思想解釋面前的事件。再如，拋100次硬幣一定出現(xiàn)50次正面朝上嗎?同年同月出生是難得的緣分嗎?利用這些與概率有關(guān)的事例，既可以更好地解釋日常生活中的問題，又可以糾正學(xué)生對概率概念已有的錯誤認(rèn)識與直覺經(jīng)驗。概率規(guī)律反映的是客觀存在的必然性規(guī)律，或許這個規(guī)律與我們?nèi)粘Ｉ罱?jīng)驗相反，但是經(jīng)過長期的實踐與認(rèn)識，思維結(jié)構(gòu)達(dá)到質(zhì)的飛躍時就會上升為對概率思維規(guī)律的把握，學(xué)生對隨機(jī)事件的認(rèn)識也得到了相應(yīng)的提高。

2 受確定性數(shù)學(xué)的干擾

學(xué)生總誤認(rèn)為概率是一個近似值。由于初中介紹的概率統(tǒng)計內(nèi)容只是初步的基礎(chǔ)知識，再加之受到傳統(tǒng)確定性數(shù)學(xué)思維的影響，所以很多問題在道理上難以說清楚，容易產(chǎn)生一些誤解。初中數(shù)學(xué)采用概率的統(tǒng)計定義和古典定義引進(jìn)概率概念的(教科書中沒有直接寫出)，以拋硬幣出現(xiàn)“正面”朝上的概率為例，按照統(tǒng)計定義，隨著拋硬幣次數(shù)的增加，出現(xiàn)“正面”期上的頻率越來越穩(wěn)定于附近(但總不能穩(wěn)定地等于)。教材上也說“拋100次硬幣，差不多50次正面朝上，50次反面朝上”，于是就誤以為是“正面”出現(xiàn)頻率的近似值，是通過四舍五入得來的。按照古典定義，每次拋硬幣時，各面出現(xiàn)的可能性假定是相等的，由于所出現(xiàn)的情況只有兩種，所以“正面”出現(xiàn)的概率是，但由于硬幣兩面質(zhì)量形狀不可能完全均勻?qū)ΨQ，所以各面出現(xiàn)的可能性也不可能是絕對相等的，因此這個也易被誤認(rèn)為是近似值。事實上，受確定性數(shù)學(xué)思維習(xí)慣和經(jīng)驗的影響以及原有認(rèn)知基礎(chǔ)的限制，中學(xué)生要完全把握概率概念的本質(zhì)，需要一個較長時間的認(rèn)識過程，教學(xué)中應(yīng)明確概率是一個客觀存在的定值(準(zhǔn)確值)，而不是一個近似值。

二、對概率教學(xué)的反思和建議

通過對教科書的分析，可以看出教材設(shè)計的數(shù)學(xué)活動較為簡單，如拋硬幣、摸球、拋骰子和摸撲克牌，等等，學(xué)生在教師的引導(dǎo)下能夠較為清晰的理解事件發(fā)生的等可能性，在沒有教師聽課的時候，一部分任課教師對設(shè)計的數(shù)學(xué)活動大打折扣，使活動流于形式。這時，部分教師把概率的教學(xué)變成了單純的數(shù)字計算的教學(xué)；學(xué)生無法經(jīng)歷概率概念的產(chǎn)生過程，那么學(xué)生隨機(jī)思想的培養(yǎng)和概率數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的積累也就無從談起。基于上述分析，筆者給出了下列概率教學(xué)的建議。

1 概率的教學(xué)要密切聯(lián)系實際，而不能處理為單純的數(shù)字計算

在教學(xué)中，要注重對于問題情境的創(chuàng)設(shè)。要讓學(xué)生經(jīng)歷一個問題數(shù)學(xué)化的過程。對于同一個問題，要設(shè)計不同的情境，不要總是2個紅球，3個白球，摸到紅球的概率是多大，學(xué)生心理疲憊，也就談不上對問題的數(shù)學(xué)抽象，僅僅變成了簡單的數(shù)字計算，久而久之，學(xué)生對學(xué)習(xí)概率的熱情就消耗殆盡。社會建構(gòu)主義把學(xué)習(xí)看成個體理解和自己建構(gòu)知識和理解知識的過程，但更關(guān)心建構(gòu)的社會性一而，認(rèn)為社會對個體學(xué)習(xí)起到支持和促進(jìn)作用。所以在設(shè)計問題時，賦予問題以現(xiàn)實意義，用社會建構(gòu)的觀點來看待這個現(xiàn)狀。我們來看一道重慶市2007年中考題：某體育訓(xùn)練小組有2名女生和3名男生。現(xiàn)從中任選1人去參加學(xué)校組織的“我為奧運(yùn)添光彩”志愿者活動，則選中女生的概率為_______。給原來的問題另設(shè)一個情境，既考查了學(xué)生對概率知識的理解，又讓他們在社會熱點問題中體會概率的應(yīng)用，提高學(xué)習(xí)概率的熱情。概率本身就是在大量的實踐活動中產(chǎn)生和發(fā)展的，因此，學(xué)生的概率統(tǒng)計知識學(xué)習(xí)離不開實踐活動。

2 教學(xué)中如何提高學(xué)生學(xué)習(xí)概率的認(rèn)知策略

概率概念教學(xué)的核心任務(wù)就在于學(xué)會概率概念的認(rèn)知策略，從而促進(jìn)隨機(jī)性思維的發(fā)展。揭示確定性數(shù)學(xué)與不確定性數(shù)學(xué)的聯(lián)系。概率是一門不確定的數(shù)學(xué)，它研究的對象是隨機(jī)的，問題的結(jié)果是動態(tài)的，但它解決問題的方法在本質(zhì)上是模式的、確定性的。教學(xué)中明確兩者的聯(lián)系，有助于充分揭示它們之間的辯證關(guān)系。掌握合情推理與邏輯推理相結(jié)合的思維方式，學(xué)會概率地思考問題。概率作為對某種隨機(jī)現(xiàn)象發(fā)生機(jī)會的一種度量，是我們認(rèn)識和理解隨機(jī)世界的一把鑰匙。抓住“概率”的隨機(jī)性本質(zhì)，必須轉(zhuǎn)變固有的思維方式，通過典型題目分析，展示推理過程，使學(xué)生體會隨機(jī)性數(shù)學(xué)思維下的推理是合情推理和邏輯推理的綜合。學(xué)習(xí)概率的意義就是從偶然性中探求必然性，從混沌中尋找有序，因此概率中幾乎處處運(yùn)用合情推理。概率知識和生活有著密切的關(guān)系，在經(jīng)濟(jì)等諸多方面都有廣泛的應(yīng)用，學(xué)會概率地思考問題有助于學(xué)生把握隨機(jī)性思維的規(guī)律。“等可能性事件的概率”是概率中很重要的內(nèi)容，概率的基本思想方法在這部分內(nèi)容中體現(xiàn)得最直觀、充分，對以后概率學(xué)習(xí)都有很大影響。教學(xué)中，可設(shè)計一些思維“陷阱”，引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，體驗可能事件、不可能事件與必然事件的概率。概率思維方式的特殊性，必然要求學(xué)習(xí)方式要作出相應(yīng)的調(diào)整。概率的隨機(jī)性決定了要學(xué)好它，仍沿用傳統(tǒng)的記憶加形式訓(xùn)練的學(xué)習(xí)方法是不可取的。在概率學(xué)習(xí)中，要逐漸形成靈活“用數(shù)學(xué)”的意識。它所解決的是實際生活中的“活”問題，只有在用的過程中才能達(dá)到對定義、公式、法則、原理的真正理解。