淺談不等式中參數問題的巧妙處理

不等式是高考的必考知識點，它可以以選擇題、填空題、解答題不同的考試形式出現，而不等式與參數的完美結合是一種常見的不等式題型，類型多，難度大，解決該類問題時，又常常會用到多種數學思想，如函數與方程思想、化歸與轉化思想、數形結合思想、分類討論思想等。教學過程中，幫助學生理解并掌握該類題型的解法，是教師首要考慮的。筆者對該部分教學內容的粗淺認識總結以下幾點。

一、“扶正自變量”法，把參數“扶正”為自變量

這類問題是參數的范圍是閉區間。字母作為參數出現的情形，有時可以把字母“扶正”成自變量，轉化為關于字母的函數，也就是構造新的函數，從而使得解不等式過程由煩瑣的分類討論而轉變為較簡單的一次函數問題。如對于滿足0≤p≤4的所有實數p，使不等式x2+px>4x+p-3都成立的x的取值范圍是( )。

A.x>3或x<-1B.x≥3或x≤-1

C. 1

這本是一個含參數的二次不等式問題，學生容易想到求出二次函數的對稱軸，對參數進行討論而得，但這種做法往往使得解不等式的過程煩瑣，稍不小心就會出錯。此時若引導學生換個角度思考問題，把參數看成變量，而把變量看成參數，則會使問題變得簡單易懂，且運算量也小。

分析如下:不等式可變形為x2+px-4x-p+3>0

我們構造關于p的一次函數:f(p)= p(x-1) +(x2-4x+3)，那么問題就轉化為當自變量P在[0，4]之間變化時，函數值恒大于零恒成立。我們利用一次函數的單調性，只需f(0)>0與(p)>0同時大于零即可，也就是說不管這個一次函數是增函數，還是減函數都必須滿足下列條件:f(0)>0f(p)>0 ，即x2-4x+3>04(x-1)+x2-4x+3>0解得:x>3或x<-1，所以選A。

再如，設y=(log2x)2+(t-2)log2x-t+1，若t在[-2，2]上變化時，y恒取正值，求x的取值范圍。

該題是由一個復合函數作為載體出現的，只需要把log2x看做一個整體，問題就變得和上面一樣，轉化為關于t的一次函數: f(t)=(log2x-1)t+(log2x)2-2log2x+1 ，只需f(-2)>0f(2)>0成立即可。

二、“扶正變量”法，分離出參數，讓參數與函數值域比較

這類問題的x的范圍是閉區間。已知自變量x范圍，求參數范圍。此類問題的常見做法是:分離參數，構造新函數，將問題轉化為求新函數最值。

《2010年浙江高考考試說明》文科樣卷中的第 17題:

若對于任意的x∈[1，3]，x2+(1-a)x-a+2≥0恒成立，則實數a的取值范圍是________。

一般解該題時，求出對稱軸，讓其與[1，3]范圍對比，分情況討論可以解得。但若啟發學生把參數分離出來，轉化為求函數的最值，則會避免討論的麻煩和討論不全的煩惱，學生也可以體會到撥云見日的好處。

分析如下:原不等式可化為:-(x+1)a+x2+x+2≥0，即 a≤，那么問題轉化為求函數f(x)===(x+1)+-1的最小值，a≤f(x)min。到此，我們可以用單調性求最值，也可用導數法求最值，也可用基本不等式(但一定注意等號是否取得到，本題是取不到的)。通過練習，讓學生逐漸掌握解此類不等式的方法。

再如，若不等式2x>x2+a對于任意的x∈[-2，3]恒成立，則實數a的取值范圍是?

分析:不等式可變為a <-x2+2x，構造函數y=-x2+2x，轉化為a

∵y=-x2+2x在x∈[-2，3]，當x=-2時，ymin=-8，∴a<-8。

不等式可以以其他不同的知識作為載體出現，比如:

集合型不等式:已知集合A={(x，y) |y= x2+mx+2}， B ={(x，y) |y = x+1且0

分離出m:m=-+1(0

解集型不等式:若不等式|x-4|+|x-3|≤a的解集非空，求參數a的取值范圍。

不等式|x-4|+|x-3|≤a的解集非空，等價于不等式|x-4|+|x-3|≤a有解，即a≥(|x-4|+|x-3|)min，利用數軸得出不等式|x-4|+|x-3|≥1，∴a>=1。(或|x-4|+|x-3|>=|(x-4)-(x-3)|=1)

導數型不等式: 已知函數f(x)=ex-ax-1

(1) 求f(x)的單調增區間;

(2) 若f(x)在定義域R內單調遞增，求a的取值范圍;

(3) 是否存在a，使f(x)在(-∞，0]上單調遞減，在[0，+∞)上單調遞增?若存在，求出a的值，若不存在，說明理由。

分析:求導:f'(x)=ex-a，若f(x)在定義域R內單調遞增，則f’(x)≥0在R上恒成立，即ex-a≥0，即ex≥a，分離出了參數，再次轉化為求(ex)的最小值。同樣的方法在第三問中也會使得問題變得簡單易行。

不等式與參數的結合題目，不管是哪種類型，題目縱然千變萬化，只要我們教給學生轉化的方法，幫助學生掌握轉化的途徑，問題就變得不難了。萬變不離其宗啊!古希臘一位智者說過:“人腦不是一個可以灌注的容器，而是一只可以點燃的火把。”教師教學生的目的不是“灌水”，而是為學生的思維“點火” 。我希望自己能起到 “點火”的作用。

參考文獻:

[1]韋川.對含參數不等式成立問題的幾點思考[J].新高考，2006(10).

[2]張勝利.含參數不等式恒成立問題處理策略[J].高中數理化，2008(1).

[3]宋瑛.含參數不等式恒成立問題的解題技巧[J].考試，2008(10).

(杭州綠城育華學校)