運用不同數學思想解決植樹問題漫談

摘 要:“植樹問題”的教學重點是讓學生經歷找規律的過程，并運用規律解決具體問題。在此過程中，要讓學生感悟數學思想，提高運用規律解決類似問題的能力。

關鍵詞:植樹問題;模型思想;對應思想;轉化思想

中圖分類號:G623.5 文獻標識碼:A 文章編號:1009-010X(2010)11-0050-03

“植樹問題”的教學重點是讓學生經歷“找”規律的過程，發展學生的數學思維。很多老師的做法都是讓學生觀察主題圖，引導學生發現這樣的規律:當兩種物體一個隔一個排列，并且兩端都是同一種物體時，兩端的物體比中間的物體個數多1。發現規律之后，再去運用規律解決具體問題。這樣安排的好處是利于絕大多數學生迅速、牢固地掌握一種規律，能夠提高他們運用規律解決類似問題的能力。

不過，這樣處理的弊端也很明顯:一是利用這個規律不能解決變式程度較大的新問題(如在封閉的環行路上種樹的問題)，如果這時再逐一講解相關規律，課堂教學時間肯定不夠，這樣教學效率就比較低，而且這樣的處理方法比較分散，不利于學生形成完整的認知結構;二是預設只有一種規律的情境(如例題的主題圖)，留給學生思考的空間太小，師生之間一問一答比較多，教學形式單一，容易引起學生疲勞感，不利于學生發散思維和創新能力的培養。

能不能充分挖掘“植樹問題”背后所隱含的數學思想，并結合學生的知識儲備，找到一條行之有效的教學方法?通過查找資料和教學實踐，筆者認為，通過模型思想、轉化思想、對應思想等數學思想的挖掘、提煉和運用，有助于學生構建起較完整的知識體系。下面列舉幾種不同的數學思想方法。

一、模型思想

教學片段:

師:現在我們來做一個給繩子打結的游戲，好嗎?

生:好。

師:先來看一下合作要求:請同學們在繩子上每隔一段任意打1個結，一共打3個結，觀察結數和段數有什么關系。如果你還有其他的想法，可以在另外的繩子上試一試。

生1:我是這樣打的，兩頭分別打一個結，中間打一個結。這樣有3個結2個段。(根據學生的回答，教師出示示意圖1)

生2:我在繩子的中間打了三個結，這樣有3個結4個段。 (教師根據學生的回答，出示示意圖2)

生3:我在一頭打結，另一頭不打結，這樣有3個結和3個段。(教師根據學生的回答，出示示意圖3)

師:很好，還有和他們都不一樣的方法嗎?

生4:老師，我先在繩子的中間打兩個結，再把繩子的兩頭合起來打一個結，這樣也是3個結和3個段。(教師根據學生的回答，出示示意圖4)

師:還有其他的方法嗎?

生:沒有了。

師:下面我們來好好看一下這幾幅圖。圖3和圖4有什么相同的地方?

生5:它們的結數都等于段數。

師:為什么它們的結數都等于段數呢?

生6:有一個結就對應一個段，所以它們的個數就相等了。

師:圖l和圖2有什么不相同的地方?

生7:圖1兩頭是結，結數比段數多1;圖2兩頭是段，段數比結數多1。

師:圖1和圖2有什么相同的地方?

生8:兩頭是相同的物體的時候，兩頭的物體比中間的物體個數多1個。

師:為什么?

生9:開頭的物體后面都對應著一個中間的物體，結尾的物體沒有對應的物體了，所以就多1個。

師:這四幅圖，可以分成幾類呢?

生10:兩類，圖4是封閉的圖形，圖1、2、3不是封閉的圖形。

師:為什么都是打3個結，可是形成的段數卻不同呢?

生11:因為打結的位置不同，所以段數就不同了。

最后，形成了這樣的板書:

不同的打結方式就是不同的“植樹”情況，學生利用一根小小的繩子，親歷了一個又一個的“植樹模型”的建立過程，構成一個相互聯系的模型群。一根小小的繩子，神奇地把“植樹問題”的所有情形都概括了進去，突破了教材的束縛。

學生通過給繩子打結這個具體、可感的活動，豐富了自己的表象儲備，形成了生動、形象的感性認識，為最后在“做”中感悟、提煉出“植樹問題”背后隱含的規律打下了堅實的基礎。由于構建模型、得出結論的過程是策略開放、結論開放的，學生的自主探究就有了廣闊的空間。教學中，學生們積極參與，熱烈討論，智慧的火花不斷閃現，他們的思維能力也在交流中互補，在碰撞中提升。

二、對應思想

“對應”的思想由來已久，比如我們將一支鉛筆、一本書、一棟房子對應一個抽象的數“1”，將兩只眼睛、一對耳環、雙胞胎對應一個抽象的數“2”。

教學片段。教師首先出示嘗試題:有9棵樹排成一行，每相鄰的兩棵樹之間放一盆花，頭和尾都不放花，一共可以放多少盆花?教師放手讓學生自主探索。許多學生通過畫圖和數數得出“8盆”。他們的圖大都如下(圖中“|”代表樹，“0”代表花):

|0|0|0|0|0|0|0|0|

師:假如不讓你數，你還有別的方法嗎?假如有500棵樹排成一行，還這樣擺花，一共可以放多少盆?你還這樣畫和數行嗎?

教師有意設置認知沖突，促使學生另辟蹊徑，進行數學思考，尋找花與樹之間的數量關系。

生:我發現有規律。

師:什么規律?

生:從頭開始，一棵樹對著一盆花，一棵樹對著一盆花……最后一棵樹很孤單，沒有花和它對，所以花的盆數比樹的棵數少1，列式為9-1=8(盆)。

學生還用圖說明思路:

|0|0|0|0|0|0|0|0|

師:那500棵樹，還這樣放花，一共可以放多少盆?

生:還是從頭開始，一棵樹對著一盆花，一棵數對著一盆花……最后一棵樹沒有花與它對，所以列式為500-1=499(盆)。

學生已開始借助形象進行抽象思考，發現了樹的棵數與花的盆數之間的關系。

師:假如有500棵樹排成一行，每相鄰的兩棵樹之間放一盆花，頭和尾都放花，一共可以放多少盆?

生:還是從頭開始，一盆花對著一棵樹，一盆花對著一棵樹……最后一盆花沒有樹與它對，所以花比樹多1，列式為500+1=501(盆)。學生很輕松地發現了花與樹之間的數量關系。

學生還是用圖說明思路:

0|0|0|0|……0|0

教師又進行了變式。

師:假如有500棵樹排成一行，還是每相鄰的兩棵樹之間放一盆花，最前面有花，最后面不放花，一共要放多少盆花?

生:還是從頭開始，一盆花對著一棵樹，一盆花對著一棵樹……樹與花剛好全部對完，所以花與樹同樣多，都是500。

學生依舊用圖說明思路:

0|0|0|0|……0|

新授至此，學生已基本掌握了對應的數學思想方法，感受到它的作用，體會到運用它的樂趣。在后面的綜合練習中，學生能主動地運用這一思想方法解題，幾乎沒有一個學生搞錯。

教師并不滿足于此，又深化一步，出示一道思考題:有51棵樹排成一行，每相鄰的兩棵樹之間放4盆花，一棵樹對著4盆花……最后一棵樹沒有花與它對應，所以中間有50個4盆花，共有50×4=200(盆)。

大多數學生能借助表象直接地進行抽象思考，輕松地解答了難題。

由于采用了畫圖法大大降低了難度，大多數學生學得輕松，哪怕經過一段時間再讓學生做，他們也能熟練解答。

三、轉化思想

所謂轉化就是將難以理解的或是無法解決的問題，用等價的方式描述，從而將原問題轉化成可以解決的問題或更容易解決的問題

在植樹問題教學中，區分什么是樹、什么是間隔，是教學中的難點，如何使學生分清什么是樹還是間隔成為教學的關鍵。筆者在教學這一內容時，也進行了一些探索，最后覺得以下步驟較為理想:開始教師用大量的事例使學生認清樹和間隔之間的關系(基于“兩端都栽”的基本型)，即樹比間隔多1，接著引導學生感悟到樹和間隔沒有嚴格和界限，只不過是一種人為的界定，樹和間隔是可相互轉化的，然后幫助學生用轉化的方法轉化題中的樹和間隔(兩端是樹，樹與樹之間是間隔)，認準題中哪一個可以看作樹，哪一個可以看作間隔，是求樹還是求間隔，最后使學生形成一條清晰的解題思路:求樹的棵數用間隔加1，求間隔數用樹的棵數減1。這樣教學，將植樹問題的三個關系式統一到一個關系式上來，即:棵數=間隔+1。這樣既減輕了學生的記憶，又方便了學生的解題。

下面一題更能體現它的優勢:學校一條大路上一邊插了20面彩旗。①如果兩面彩旗中間放一盆花，一共要放多少盆花?②如果要使兩盆花之間有一面彩旗，一共要放多少盆花?把第①題中的彩旗看成是樹，花盆的個體樹看成是間隔，列式為:20-1=19(盆):第②題彩旗就不是樹了，因為花盆要放到了兩端了，花盆是樹，彩旗是間隔，求花盆的個數就是求樹的棵數，解法就是:20+1=21(盆)。這樣就將樹的間隔進行巧妙的轉化，學生在解答時也就不困難了。

由此想到，教學有三重境界:一是教知識;二是教方法;三是教思想。新課程下的小學數學比以往更加重視了數學思想方法的教學，教師在平時的教學中也應該及時地對數學思想方法進行提煉、歸納和概括，應該引導學生靈活地運用數學思想方法解決數學問題，讓數學思想方法逐步深入人心，最終內化為學生的數學素養。

參考文獻:

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