串聯點與函數圖像的平移規律

二次函數的圖像及性質的討論，現行人教版教材是先學習特殊的二次函數y=ax2(a≠0)的圖像和性質，然后通過畫函數y=ax2+b、y=a(x-h)2、y=a(x-h)2+k等圖像，歸納出一般二次函數的圖像及性質.

特別是以下這條性質:

“一般地，拋物線y=a(x-h)2+k與y=ax2形狀相同，位置不同，把拋物線y=ax2向上(下)向左(右)平移，可以得到拋物線y=a(x-h)2+k，平移的方向、距離要根據h，k的值來定.”

因為這條性質是由函數的圖像對照函數的解析式總結出來的，是憑直觀感覺得到的，學生并沒有對其產生本質的理解.在具體操作中，如把函數y=2x2的圖像先向右平移3個單位，再向上平移兩個單位后所得的函數解析式是y=2(x-3)2+2，多數學生只是記住“左移加，右移減，上移加，下移減”的規則，卻不清楚為什么是“左移加，右移減”，而不是“左移減，右移加”.

關于一次函數圖像及性質的討論，現行人教版教材中有“一次函數y=kx+b的圖像是一條直線，我們稱它為直線y=kx+b，它可以看作由直線y=kx平移b個單位長度而得到(當b>0時，向上平移;當b<0時，向下平移).”但沒有出現把一條直線向右(左)平移時解析式的變化規律.

教材這樣的安排，把點的平移、一次函數圖像的平移、二次函數圖像的平移孤立起來，割裂了圖像的平移與點的平移的關系.這樣做雖然會讓學生解決二次函數圖像的左、右平移問題，但它的弊病也顯而易見，如很多學生對一次函數圖像的左、右平移問題還是一籌莫展.

授課過程中，我是把點的平移與函數圖像的平移聯系起來進行教學的.

前面的課程已經教學生學習了點的平移規律:“在平面直角坐標系中，將點(x，y)向右(左)平移a個單位長度，可以得到對應點(x+a，y)[(x-a，y)];將點(x，y)向上(下)平移b個單位長度，可以得到對應點(x，y+b)[(x，y-b)].”

直線向上(下)平移與點向上(下)平移的規律是統一的，而拋物線向左(右)平移與點的平移規律“不統一”.為了使學生有一個統一的認識，并為學習拋物線的平移打下基礎，我在對一次函數進行授課時，補充了直線的左、右平移.

在這里要注意到代數式與等式的區別.在代數式中，x+m比x大m，而在等式y=k(x-m)中x的值比y=kx中x的值大m.

所以，點的平移規律與直線的平移規律是一致的.

對直線的平移可歸納為:把直線y=kx+b向左(右)平移m個單位，則x變為x+m(或x-m);向上(下)平移n個單位，則y變為y-n(或y+n).

因為圖像的平移其實質就是組成圖像的點的平移，所以以上歸納對所有函數圖像的平移都適用.

如把直線y=-3x+2先向右平移兩個單位，再向下平移3個單位后的解析式是y+3=-3(x-2)+2，即y=-3x+5.

在教學二次函數時，對二次函數y=ax2的圖像和性質的教學與現行教材一樣，而對y=ax2+h的教學，我是先讓學生寫出把函數y=x2的圖像向上(下)平移1個單位的函數解析式:y-1=x2(或y+1=x2)，即y=x2+1(或y=x2-1)，再列表，畫出函數的圖像，結合圖像，對照函數解析式，使學生有直觀的認識.

實踐告訴我這樣教學有以下幾點好處:

1.把平移的知識串在一起，讓學生對函數圖像的平移與點的平移有統一的認識，不但知其然，也知其所以然，不像以前死記“左加右減，上加下減”.

2.在應對函數圖像的平移問題上，學生錯誤率明顯下降.

如把函數y=-2(x-h)2+3的圖像先向下平移兩個單位，再向右平移4個單位后的解析式為y+2=-2[(x-4)-1]2+3，即y=-2(x-5)2+1.

3.對于一般的二次函數，如把函數y=2x2+4x-2的圖像先向上平移3個單位，再向左平移1個單位的解析式為:y-3=2(x+1)2+4(x+1)-2，即y=2x2+8x+7.不必先把一般式化為頂點式再寫平移后的解析式.

4.因為這一歸納對所有函數圖像的平移都適用，所以對學生的后續學習大有益處.

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編輯/張燁