淺談數學公式教學中思維能力的培養

數學公式一般是由數學符號(概念符號和運算符號)組成的等式或不等式，它具有數量關系的確定性和符號的抽象性，形式靈活且應用廣泛。公式教學一般有五個環節，即公式的引入、推導、理解、記憶和運用。它們緊密相關、環環相扣。這里筆者從公式的理解與運用等方面談點認識。

一、理解數學公式中字母的含義，培養學生思維的深刻性

公式導出以后，學生對公式有了初步的認識，不少學生的求知欲望得到了滿足，但他們對所獲得知識的理解仍是表面的、膚淺的，有待于深化。教師要通過多種渠道促使他們從感性認識上升到理性認識，并在此過程中訓練學生思維的敏銳性、深刻性、批判性，以培養學生觀察能力、抽象能力和探求本質的能力。

例如，在三角恒等式“Sin2x+CoS2x=1”中，x表示的是任意實數。因此，可以用其他表示實數的式子代換公式中的x，如:

Sin2(x2-2x+3)+CoS2(x2-2x+3)=1，

Sin2(Log2ex)+CoS2(Log2ex)=1，

告知學生，這些等式都是成立的。

數學公式中的字母，從其表示形式上看是具有相對性的，如三角函數中的和、差、倍、半角公式、和角與差角、倍角與半角;從其表示形式而言，都是相對的。

在具體問題中，要靈活運用，根據需要，單角可以變形成和角(α-β)+β或差角(α+β)-β;和角α+β也可變形為倍角等。學生在學習這些公式時，往往認識不到這一點，而只限于對公式中字母表象的認識。因此，在教學中，必須使學生深刻理解公式中字母代表意義的廣泛性和表示形式的相對性，引導學生探尋不同的表達式，從而達到培養學生思維的深刻性與靈活性的目的。

二、通過數學公式的逆用、變形用，培養學生思維的發散性

在教學中，筆者經常發現，有些學生對所學的數學公式只會從左到右使用，形成了思維定勢，公式稍加變形就不認識了，影響了公式的靈活應用。為了全面發展學生的思維能力，在公式教學中必須加強公式的逆用、變形用等方面的訓練，引導學生多角度、全方位地透視所學公式。筆者要求學生不僅要能準確地熟記公式，而且還應熟悉公式的各種變化形態。對公式的掌握，不僅要熟悉公式的結構特征，而且要熟知公式的各種變化功能。

例如，正切公式，其所反映的是正切的和、正切的積、和角的正切等數量之間的關系。除了標準形態以外，它還有下列各種變化形態:，，等。

要引導學生善于總結例習題中同一個公式的不同形態，這樣才能在數學問題的推演過程中，根據隨時出現的結構特征、表示形式、數量關系等信息，及時地聯想到有關公式及其變形，使思維具有發散性。

三、通過數學導出公式的應用，培養學生思維的廣闊性

所謂導出公式，是指由一些已知公式推導出的重要推論和課本中一些具有重要工具效應的習題結論。它們雖不在課本公式之列，卻具有較強的應用功能，在解題時常常能起到化繁為簡、化難為易的作用。例如，三角公式CoS2θ=CoS2θ-Sin2θ的推論CoS2θ=，Sin2θ=具有升降冪的功能。

又如，在解答“化簡;求的周期”等題目時，就離不開這一推論。又如，解答“若|z|=1，求||的最值;求滿足條件的點z在復平面上的軌跡”的過程中，若使用習題的已知結論:，來求解，更加簡潔明了。

四、通過數學公式的推導，培養學生思維的靈活性

在進行公式教學時，不僅要使學生知其然，而且要知其所以然，要重視公式推導過程的教學。因為許多數學公式的推證過程本身就包含了十分重要的數學方法，公式的推證過程更能揭示思維過程。因此，應巧妙創設思維情境，培養學生思維能力。

例如，等差數列、等比數列前n項和公式的推導，采用的是倒寫相加法和退位相減法兩種方法。該方法不僅有助于學生牢固掌握公式的結論，而且能開闊學生解題思路，培養學生思維的靈活性。在遇到題目“1、求證，2、求下列式子的和:”等問題的時候，運用倒寫相加和退位相減法求解就顯得十分容易了。

另外，采用坐標法證明余弦定理，運用面積相等原理證明正弦定理，不僅形象易懂，而且方法巧妙。學生從公式的證明中即掌握數學方法，其邏輯思維能力也將有顯著的提高。

在數學公式的教學中，由于具體公式的特點不一，在教材中所占的比重及地位也不相同，故各公式教學的深度和廣度不能一刀切，要靈活掌握，科學設計，使之成為培養學生能力的手段之一。

(作者單位:河南省洛陽高級技工學校)