數學機械化思想探討

摘 要: 數學機械化思想起源于中國古算，并貫穿于中國古算的整個發展過程。數學機械化思想是在中西方數學大師們的不懈奮斗中一步步發展起來的。在信息革命時代，倡導和開展數學機械化研究，則為中國數學的發展提出了一種戰略導向。

關鍵詞: 數學機械化思想 中國古算 計算機

數學是自然科學的基礎。從認識論上分析，數學思維既有創造性活動，又有非創造性活動，二者是互為前提、相互制約、相互轉化的。非創造性工作是創造性工作的基礎，創造性工作又可以通過某種途徑部分地轉化為非創造性工作。數學中的某些腦力勞動與體力勞動有共同的地方，就是同樣可以機械化。按照我國當代著名的數學家吳文俊先生的理解:“所謂機械化，無非是刻板化和規格化。”吳先生借用現代機械和計算機的工作來說明“機械化”:一方面，無論是機器代替體力勞動，或是計算機代替某種腦力勞動，其之所以成為可能，關鍵在于所需代替的勞動已經“機械化”，也就是說已經實現了刻板化和規格化。另一方面，隨著現代機器性能和計算機技術的提高，大量復雜的勞動可交機器操作進行，這必然會進一步刺激并促進腦力勞動的機械化。數學由于符號形式而易于運算和推理，因此人們可以暫時撇開符號的意義而僅著眼于形式，當符號與一定的概念單值對應時，思想的操作可轉化為對符號的操作，而符號的操作可以讓計算機進行，故人們利用符號借助于計算機，便可以是繁重的腦力勞動機械化，從而實現智力的解放。這就是數學思維活動的機械化。

一、數學機械化思想的起源

數學機械化思想起源于中國古算，并貫穿于中國古算整個發展過程。《九章算術》是中國算法機械化的光輝典范，其中的機械化思想被后代中算家繼承和不斷發展，數學泰斗劉徽的《九章算術注》對數學機械化算法有著重大貢獻。例如，大家熟悉的圓周率，根據劉徽注求圓周率原文，可以把“割六觚以為十二觚術曰:……開方除之即十二觚之一面也”一段看作程序①;“割十二觚以為二十四觚術曰:……即二十四觚之一面也”一段看作程序②;“割二十四觚以為四十八觚術曰:……即四十八觚之一面”一段看作程序③“割四十八觚以為九十六觚術曰:……即九十六觚之一面”一段看作程序④。程序①②③④是完全同樣的計算12、24、48、96正邊形邊長(觚面)的程序。它們之間僅有的差別就是賦予“面”以新值，事實上，劉徽將每一次迭代過程結束時所得之值“賦”給下一迭代過程的參變量“面”。這就是求圓周率的科學方法和正確可行的程序，體現了數學機械化思想用于近似計算。

二、數學機械化思想的發展

數學機械化思想，不僅使中國古代的眾多數學家為之付出艱辛努力，而且吸引了無數西方數學家傾注心血。數學機械化思想就是這樣在數學大師們不懈的奮斗中一步步發展起來的。萊布尼茨第一個明確提出應用數學方法來研究邏輯的思想，為此他提出“徹底的符號化”并發展起相應的推理演算。萊布尼茨設想過數學領域的推理機器，可以看作是機械化思想的初步嘗試，但他沒有能實現計劃。希爾伯特在1899年出版《幾何基礎》中闡述了數學機械化思想，并寫進了數學著作中最早出現的一條機械化定理:初等幾何中只涉及從屬與平行關系的定理證明可以機械化。他最先從理論上明確提出定理證明機械化的思想。上世紀50年代末，美籍華人王浩先生發明了王浩算法，把機器證明規則化。1959年他只用了9分鐘的機器時間，就用計算機證明了《數學原理》中的一階邏輯部分的全部350多條定理。中國科學院吳文俊院士自70年代末起，受中國古代數學算法化思想和計算機技術的啟發，開始進行幾何定理機器證明研究。吳文俊的數學機械化方法實現了成功的應用，從而開拓出一條數學機械化的道路，不僅建立了“吳中心”，而且形成了“吳學派”，建立了有中國特色的數學機械化理論，在這一領域處于世界領先地位。

三、數學機械化思想的步驟

數學機械化主要有兩個步驟。一是算法化。數學的機械化有賴于計算機的使用。數學要實現機械化就必須適當地變革自己以適應計算機有限性、離散性。二是機械化。即在計算機上有效地實現有關算法，只有有效的軟件才能

真正用來解決實際問題。

四、數學機械化思想在數學發展中起的作用

貫穿整個數學發展歷史過程有兩個中心思想:一是公理化思想，另一個是機械化思想。《九章算術》中對開平方，開立方的機械化過程的描述直到宋元時代發展起來的求解高次代數方程組的機械化方法，無一不與數學機械化思想有關，并對數學的發展起了巨大的作用。公理化思想在現代數學，尤其是純粹數學中占據著統治地位，然而，檢查數學史可以發現數學多次重大躍進無不與機械化思想有關。數學啟蒙中的四則運算由于代數學的出現而實現了機械化。線性方程組求解中的消去法是機械化思想的杰作。在現代純粹數學研究中，機械化思想也一直發揮著重大作用。Hilbert倡導的數理邏輯為計算機的設計原理做了準備。數學巨匠E.Cartan關于微分方程、微分幾何及李群的著作中經常顯現出機械化特色。H.Cartan關于代數拓撲學同調群計算的工作都是機械化思想的成功范例。

數學機械化思想是一種思維模式，一些數學分支正是由于踏上了機械化的道路而獲得蓬勃發展，成為重要的研究方向，甚至成為數學的主流。在信息革命時代，數學將出現什么樣的變化?尤其是，中國的數學將如何進步?這是數學家們經常思考的問題。倡導和開展數學機械化研究，則為中國數學的發展提出了一種戰略導向。

參考文獻:

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[2]傅海倫.數學機械化思想的產生和發展[J].自然辯證法研究，1997.