基于認知建構的數學簡約性及其體現

【關鍵詞】數學簡約性認知建構

【文獻編碼】doi：10.3969／j.issn.0450-9889(A).2010.10.005

數學是一門具有高度抽象性和概括性的學科，它的重要性早就為人所熟知。19世紀德國大數學家高斯就曾經說過“數學是科學中的皇后”，數學之美在于簡潔、和諧。新課程改革實施以來，小學數學課堂教學在內容呈現、組織形式、教學方法以及評價等方面與傳統課堂相比，靈活性更強。但是課堂中也存在過多注重形式與情境創設的問題，割裂了與傳統教學的聯系，脫離了生活實際，忽略了重點教學內容，教學成效不明顯。本應簡約的數學，卻讓學生感覺到繁瑣、花哨、空洞。導致這些問題的原因很多，其中較為重要的一種原因是在多維的教學目標和諸多教學資源環境中，教師沒有深入領會新課改精神，面臨多種選擇，往往容易注重外在因素，而忽視了數學的本質，從而將簡單的事情復雜化。因此，回歸簡約、追求簡約性，對于新課改背景下增強數學教學活動的有效性、促進學生發展具有重要意義。

一、數學簡約性的界定及理論依據

簡約性是科學認識理論的基本原則。簡約性是以濃縮的形式反映事物整體的本質規定性，形成具有概念和總體性判斷，它不僅表現在形式上的簡潔與明了，更體現在內容上的豐富與深刻，亦即言簡意賅、文約義豐。在簡約性的概念和判斷中，雜亂、無序、豐富的感性內容得到規范、有序、系統地理性整合，達到多樣性的統一，因而具有具體性。事物的簡約性越高，就越具體，越具有普遍性、滲透性和兼容性，其適用范圍就越寬廣。

數學簡化人的思維，數學的簡約性來自數學自身的抽象性、概括性與統一性：要求在準確反映事物本質的基礎上確保數學語言簡要精煉；數學教學目標要簡潔清晰；數學教材的選擇要根據學習內容的特點并且符合學生的認知規律，簡約有度并科學實用；數學課堂組織形式要適當、簡潔；數學課堂的情境創設需要精確把握；數學教學方式應該樸素、務實；數學教學的結構安排也應該合理，在教學過程中問題的提出與解決、模型建立、知識應用等環節應該自然、連貫，避免教學活動設計矯揉造作、牽強附會；數學教學手段應該簡便、實用，輔助教學媒體的使用應該巧妙、高效。

在數學學科教學中提倡簡約性，既是數學的本質要求，又是當今課改的必然選擇，也有著一定的理論依據。

1 布魯納的“認知一發現”理論

認知心理學派的代表人物布魯納認為，任何學科都可以用理智上忠實的形式教給任何年齡階段的任何兒童。“理智上忠實的形式”，是指適合學習者認知發展水平的學科的基本概念、基本原理，而發現學習是一種最佳的學習方式。布魯納認為教學在運用知識方面的最低要求是弄清楚該學科的基本結構，學科結構的學習將會有助于學習者解決在課堂內外所遇到的相關問題。這就要求在教學中力求教學結構簡約。

布魯納還認為，教學活動的進行取決于學習者的認知結構。學習者必須具備動作表征、映像表征以及符號表征中一方面或者幾方面的經驗。教師在教學過程中不應局限于提供現成的知識，而是要創設一種可以讓學習者進行獨立探究的情境，要讓學習者自己去思考、參與知識獲取的過程。學習者應該成為主動的、積極的探究者。布魯納也強調要在教學中對涉及的大量信息進行提取，所掌握的知識基礎性、概括性越強，學習者就能適應越廣泛的學習。學習者如果掌握了“學科基本結構”，就能更好地掌握整個學科。數學的學科結構與別的學科大相徑庭，其本身就包含大量的基本概念和原理，如結合律、分配律等。掌握數學學科的基本結構，需要學習者將接受的信息進行提取加工，有的放矢地將遇到的大量刺激內化成自己的經驗，以便日后獨立探究，而這一過程必然要求在數學教學過程之中簡約地呈現相關信息。

2 建構主義理論

建構主義認為，數學知識的學習是學習者憑借自身已有的知識和經驗主動建構的活動；教學是逐步減少外部控制、增加學習者自我控制學習的過程。建構主義理論杰出代表皮亞杰提出，知識的建構涉及“同化”、“順應”這兩個基本過程，在學習過程中，學習者需要利用自己已有認知結構中的相關經驗去同化與整合新知識，從而賦予新知識以某種意義；原有經驗如果不能同化新知識，學習者的原有認知結構就要進行改造與重組，即發生“順應”。認知結構就是通過同化與順應過程逐步建構起來，并在“平衡一不平衡—新的平衡”的循環中不斷豐富、提高和發展。

在建構主義的學習環境中，學習者是認知主體，學習者對知識的意義建構是數學學習過程的最終目的。所以，數學學習環境的設計應該有利于支持和激發學習者的數學思維，要利用各種信息資源來支持學習者“學”數學，而不是支持教師“教”數學。教學設計通常不是從分析教學目標開始，而是從如何創設有利于學習者意義建構的情境開始，整個教學設計過程緊緊圍繞“意義建構”這個中心而展開，數學學習過程中的一切活動都要圍繞這一中心，要有利于深化對所學知識的意義建構。數學教學中，新的信息、新的刺激如果符合學習者原有的知識結構、基于學習者原有的知識經驗，那么將有利于學習者進行知識整合。有限的外部控制以及學習者自我控制的增強，在很大程度上需要在教學中摒除無關信息和過度干預，即追求數學教學過程簡約。

3 信息加工理論

信息加工理論認為，人的記憶系統是一個結構復雜的系統，它對一個人擁有的全部知識進行加工和組織。人類的記憶系統積極地選擇將要被加工的材料，把它們轉變成有意義的信息，并貯存許多信息供來日使用。人們在某一時刻只能把注意力集中在某些刺激上，因而必然會忽略其他刺激。人類記憶加工信息的能量是有限的，如果一味要求學習者在短時間內掌握大量的信息，不給他們留有加工或思考的時間，那么信息的接受將會變得很困難。教學過程中，如果無關刺激與無關信息過多出現，那么必然會使學習者形成的記憶痕跡與客觀事物相距很遠，給學習者提取信息加工信息造成困難，不利于學習和知識建構。因此，信息加工過程中應遵循簡約性原則。

二、數學簡約性的體現

1 數學語言簡要精煉

數學的語言，尤其是數學教學過程中所采用的語言應該具有概括性，應該在確保事物本質能夠得到準確反映的基礎上，盡量保證簡要與精煉。數學教學目標的重要內容是掌握計算方法、操作方法、解決問題的方法等，用簡潔的語言概括出相關方法，有利于學生理解、掌握和運用，取得更好的教學效果。

2 數學教學目標簡潔清晰

數學教學要實現知識與技能、過程與方法、情感態度價值觀三維目標，要考慮目標的全面性，但就一節課而言，教學目標應該簡潔清晰，應該突出教學的重點，做到主次分明、有的放矢。教師如果在教學中試圖面面俱到，那么在課堂中所傳達的信息就會過多，學生無法對新信息進行有效取舍，也就無法進行有效的同化與整合，從而會使課堂結構松散，學習效率低下。

3 數學教材簡約實用

數學教材的選擇要根據學習內容的特點并且符合學生的認知規律，要依據學生的生活環境、生活經驗，要能調動學生的學習積極性，激發學生的學習興趣，從而提高教學的效果。教材的選擇不可超出學生的認知范圍，以免形成無關信息，不利于學生提取信息，對課程的實施造成干擾。

4 數學課堂組織形式科學適當

科學的課堂組織形式是實現高效課堂的有效途徑。數學的學科性質、教學內容與其他學科有很大差別，因此在課堂組織上也應該具有數學學科的特點。數學課堂的活動設計應該做到簡潔、高效、富有思想性。選擇適當形式，讓其能為教學內容服務，能為教學目標服務，這樣的形式才有價值，才能使課堂更簡約、更高效。形式的最終目的是為了課堂教學，應該極力避免教學目標與形式主次顛倒，避免“流于形式”或者為了形式而形式，影響教學任務，造成課堂秩序混亂和教學效率低下問題。

教學方式應該是樸素、務實的。教學方式之間本沒有優劣之分，適合的才是最好的。數學學科有嚴密的邏輯系統，且遷移性強，在數學教學過程中需要根據學習內容和學生的學習特點，緊緊圍繞教學目標，選擇一種適當的教學方式或者將幾種方式有機結合，這樣數學課堂才能結構合理，教學效率也會有明顯提高。

5 數學課堂情境創設精致簡約

教學情境的創設是為了生成問題，引出教學目標。情境樸實簡明可以避免學生受到無關信息的影響，更好地接受新信息。新課改以來，關于情境的創設出現了諸多誤區，如在一些公開課中普遍存在“為了情境而情境”、情境過長、過于華麗的現象，這樣的情境創設不利于學生有效學習，也給教師造成了很大負擔，浪費了大量的時間和精力。數學教學的情境要求真正貼近學生的生活，做到簡約有效。

數學教學的各個環節，諸如問題的提出與解決、模型建立、知識應用等，都應該自然、連貫，在教學活動的設計中應該避免矯揉造作與牽強附會。簡約不意味著簡單，在教學設計的環節中，問題的設置要有思想性，要做到少而精，真正能夠引導學生學習，引發學生深入思考；課堂細節的設計應圍繞教學的重點和難點，引起學生的有效注意，從而強化學生的認知，提高教學效率；練習的設計不應該機械重復，而要精心選擇……這些設計都需要教師對教材及教學目標深刻理解、融會貫通，這樣才能深化學生的理解，避免浪費時間。

6 數學教學手段簡便實用

多媒體等輔助教學手段由于其便利性、實效性，在現代數學課堂中得到了廣泛應用。但是，多媒體的應用也出現了誤區或泛濫之勢，部分教師過度依賴多媒體，用多媒體演示代替必要的實物演示、板書，甚至講解等過程，教師花費了很多心思制作多媒體課件，卻未達到良好的教學效果。多媒體與傳統教學媒介存在很大差異，各有利弊，不能完全用機械的界面操作代替師生之間的互動。因此，選擇教學手段應該講究簡便、實用，畢竟簡便、實用的才是適合的，適合的才是最好的。

綜上所述，數學是一門與生活聯系緊密的科學，簡約性是其本質。數學的簡約并不意味著簡單，在數學教學實踐中遵循簡約性原則，是現實的必然選擇，需要對教學各環節、各方面進行變革，也對教師提出了更高的要求，需要在教學實踐中不斷探索。

參考文獻

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【作者簡介】李星云(1958－)，男，江蘇南京人，南京師范大學教育科學學院教授。

(責編李景和)