淺談新高考“運(yùn)動(dòng)的合成與分解”的復(fù)習(xí)

運(yùn)動(dòng)的合成就是由已知的分運(yùn)動(dòng)求跟它們等效的合運(yùn)動(dòng)，反之由已知的合運(yùn)動(dòng)求跟它等效的分運(yùn)動(dòng)叫做運(yùn)動(dòng)的分解。熟練掌握運(yùn)動(dòng)合成和分解，可以把一些復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)化為比較簡(jiǎn)單的直線運(yùn)動(dòng)，達(dá)到化繁為簡(jiǎn)，化難為易，化未知為已知，從而達(dá)到研究一些相對(duì)復(fù)雜的曲線運(yùn)動(dòng)的目的。這一知識(shí)點(diǎn)，從以前的教學(xué)大綱上的A級(jí)（Ⅰ級(jí)）要求提升到課程標(biāo)準(zhǔn)及新課標(biāo)地區(qū)各省考試說(shuō)明的Ⅱ級(jí)要求，要求大大提高了。在高三復(fù)習(xí)中，如何應(yīng)對(duì)這一變化呢?筆者在新課程教學(xué)中進(jìn)行了一些思考，總結(jié)出應(yīng)主要抓好四個(gè)方面。

一、一個(gè)定則

這一個(gè)定則就是平行四邊形定則(有時(shí)簡(jiǎn)化為三角形定則)，位移、速度、加速度等物理量都是矢量，矢量的合成與分解都遵從平行四邊形定則。兩個(gè)矢量合成時(shí)，以表示這兩個(gè)矢量的線段為鄰邊作平行四邊形，這兩個(gè)鄰邊之間的對(duì)角線就代表合矢量的大小和方向。矢量的分解過(guò)程與矢量的合成過(guò)程相反，也用平行四邊形定則。

二、兩個(gè)模型

圖1

運(yùn)動(dòng)的合成與分解問(wèn)題中，有兩個(gè)典型模型，即小船過(guò)河問(wèn)題和繩聯(lián)問(wèn)題。

（一）小船過(guò)河問(wèn)題

已知兩岸平行的河寬為d，船在靜水中的速度為v船，水流速度為v水，船頭方向與河岸成θ角(如圖1所示)，則

使船能夠渡河的原因是：

垂直河岸方向有分速度vy=v船sinθ；

使船沿岸方向運(yùn)動(dòng)的分速度是

vx=v水-v船cosθ。

1.最小渡河時(shí)間

圖2

渡河時(shí)間由垂直河岸方向分速度vy=v船sinθ和河寬d所決定，有：t=dv船sinθ，最小渡河時(shí)間tmin=dv船，即船頭垂直河岸方向渡河(θ=90°)。

2.渡河最小位移（最短航程）

當(dāng)v船>v水時(shí)，如圖1所示，最小位移x合等于河寬d，v船cosθ=v水，即

cosθ=v水v船時(shí)，θ=arccosv水v船

。

當(dāng)v船

（二）繩聯(lián)問(wèn)題

由于繩的彈力總是沿著繩的方向，所以當(dāng)繩不可伸長(zhǎng)時(shí)，繩聯(lián)物體的速度在繩的方向上的投影相等，即繩上各點(diǎn)沿繩方向的速度相等。

如圖3所示，在不計(jì)滑輪摩擦和繩子質(zhì)量的條件下，當(dāng)繩與水平方向的夾角為θ時(shí)，物體A的速度為v，此時(shí)小車(chē)水平向右運(yùn)動(dòng)的速度為v車(chē)，由于繩上各點(diǎn)沿繩方向的速度相等，則兩個(gè)速度之間的關(guān)系如圖4所示，得v車(chē)=vcosθ。

圖3 圖4

三、三個(gè)物理量

運(yùn)動(dòng)的合成與分解就是位移、速度、加速度的合成和分解。

這兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)必須是同一質(zhì)點(diǎn)在同一時(shí)間內(nèi)相對(duì)于同一參考系的運(yùn)動(dòng)，我們根據(jù)運(yùn)動(dòng)的實(shí)際效果將描述合運(yùn)動(dòng)規(guī)律的各物理量(位移、速度、加速度)按平行四邊形定則分別進(jìn)行分解，或進(jìn)行正交分解。

當(dāng)兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)在同一直線上時(shí)，矢量運(yùn)算轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算。先選定一正方向，凡與正方向相同的取正，相反取負(fù)，合運(yùn)動(dòng)為各分運(yùn)動(dòng)的代數(shù)和。例如，豎直上拋運(yùn)動(dòng)可以看成是豎直方向勻速運(yùn)動(dòng)和自由落體運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)，即取豎直向上為正，有：vt=v0-gt，s=v0t-gt2/2。

當(dāng)兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)不在同一直線上，按照平行四邊形定則合成，如圖5所示。

圖5

兩分運(yùn)動(dòng)垂直或正交分解后的合成：s合=s2x+s2y，v合=v2x+v2y，a合=a2x+a2y。

四、四個(gè)方面綜合

圖6

運(yùn)動(dòng)的合成與分解的應(yīng)用除了平拋、類(lèi)平拋外，還經(jīng)常與以下四個(gè)方面的內(nèi)容綜合。

1.與相對(duì)運(yùn)動(dòng)的綜合

【例1】 如圖6所示，某人與一平直公路的垂直距離h＝50m，有一輛汽車(chē)以速度v0＝10m/s沿此公路駛來(lái)，當(dāng)人與汽車(chē)相距L＝200m時(shí)，人開(kāi)始勻速跑動(dòng)。若人想以最小速度趕上汽車(chē)，人應(yīng)沿與水平方向成多大的角度，以多大的速度奔跑？

圖7

解：將車(chē)作為參照物，人與車(chē)相遇，分析人相對(duì)于車(chē)的運(yùn)動(dòng)，合速度為沿著斜邊L指向車(chē)，人相對(duì)于車(chē)，參與兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)：一個(gè)相對(duì)車(chē)水平相左的速度v0；一個(gè)是人自身的速度v，作三角形定則如圖7，當(dāng)速度v垂直L，v有最小值v1，則：

v1=v0sinθsinθ=hL

，解得：v1=2.5m/s，方向與公路(水平方向)成arccos14度角向前(右)。

2.與圓周運(yùn)動(dòng)的綜合

【例3】 如圖8所示，輕且不可伸長(zhǎng)的細(xì)繩懸掛質(zhì)量為m1=0.5kg的小圓球，小圓球又套在可沿水平方向移動(dòng)的

圖8

框架槽內(nèi)，框架槽豎直方向，質(zhì)量為m2=0.2kg。自細(xì)繩靜止于豎直位置開(kāi)始，框架在水平恒力F=20N的作用下移至圖中所示位置，此時(shí)細(xì)繩與豎直方向夾角為30°。繩長(zhǎng)l=0.2m，不計(jì)一切摩擦，取g=10m/s2。求：

（1）此過(guò)程中重力對(duì)小球所做的功；

（2）外力F所做的功；

（3）小球在此位置瞬時(shí)速度的大小。

解：（1）此過(guò)程中重力對(duì)小球所做的功為：

WG=-m1gl(1-cos30°)

=-(1-32)

=-0.134（J）。

（2）外力F所做的功為：

WF=Flsin30°=2（J）。

圖9

（3）由于繩的約束，小球的運(yùn)動(dòng)軌跡為圓，其速度為v，小球速度與框架速度的關(guān)系如圖9所示，則：

WF+WG=12m1v2+12m2(vcos30°)2，

解得：v=2.4m/s。

3.與碰撞的綜合

圖10

【例4】 傾斜雪道長(zhǎng)為50m，頂端高為30m，下端經(jīng)過(guò)一小段圓弧過(guò)渡后與很長(zhǎng)的水平雪道相接，如圖10所示。一滑雪運(yùn)動(dòng)員在傾斜雪道的頂端以水平速度v0＝10m/s飛出，在落到傾斜雪道上時(shí)，運(yùn)動(dòng)員靠改變姿勢(shì)進(jìn)行緩沖使自己只保留沿斜面的分速度而不彈起。除緩沖外運(yùn)動(dòng)員可視為質(zhì)點(diǎn)，過(guò)渡軌道光滑，其長(zhǎng)度可忽略。設(shè)滑雪板與雪道的動(dòng)摩擦因數(shù)μ＝0.2，求：

（1）運(yùn)動(dòng)員落在傾斜雪道上時(shí)與飛出點(diǎn)之間的距離；

（2）運(yùn)動(dòng)員落到傾斜雪道瞬間沿斜面的速度大小；

（3）運(yùn)動(dòng)員在水平雪道上滑行的距離（取g＝10m/s2）。

圖11

解：(1)如圖11所示，運(yùn)動(dòng)員飛出后做平拋運(yùn)動(dòng)，則：

x=v0t，

y=12gt2，

由y=xtanθ得飛行時(shí)間t＝1.5s，

落點(diǎn)的x坐標(biāo)：x＝v0t＝15m，

落點(diǎn)離斜面頂端的距離：s1=xcosθ=18.75m。

(2)落點(diǎn)距地面的高度：h=(L-s1)sinθ=18.75m，

接觸斜面前的x分速度：vx=10m/s，

y分速度：vy=gt=15m/s，

沿斜面的速度大小為：vB=vxcosθ+vysinθ=17m/s。

(3)設(shè)運(yùn)動(dòng)員在水平雪道上運(yùn)動(dòng)的距離為s2，由功能關(guān)系得：

mgh+12mv2B=μmgcosθ(L-s1)+μmgs2，

解得：s2＝141m。

不可伸長(zhǎng)的繩繃直的瞬間，也會(huì)使原沿繩方向的速度減為零。

4.與復(fù)合場(chǎng)的綜合

圖12

【例5】 如圖12所示，一帶電為+q，質(zhì)量為m的小球，從距地面高h(yuǎn)處以一定的初速水平拋出，在距拋出點(diǎn)水平距離為L(zhǎng)處有一根管口比小球略大的豎直細(xì)管，管的上口距地面h/2。為了使小球能無(wú)碰撞地通過(guò)管子，可在管子上方整個(gè)區(qū)域內(nèi)加一水平向左的勻強(qiáng)電場(chǎng)。試求：

(1)小球的初速度應(yīng)為多大；

(2)應(yīng)加電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小；

(3)小球從拋出經(jīng)多長(zhǎng)時(shí)間落到地面上。

解：（1）水平方向勻減速運(yùn)動(dòng)到管口時(shí)速度恰為零，則：L=v02t①

豎直方向自由落體運(yùn)動(dòng)到管口，則：h2=12gt2②

由①②得：v0=2Lgh③

（2）水平方向由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式及牛頓第二定律：v20=2qEmL④

由③④得：E=2mgLqh

（3）整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，帶電小球豎直方向的分運(yùn)動(dòng)一直是自由落體運(yùn)動(dòng)：h=12gt2總，

解得：t總=2hg。

（責(zé)任編輯 黃春香）