例談函數值域的常用求法

求函數的值域是高中數學的一個重點和難點，每年高考必考內容，雖然很少單獨求值域，但應用題都涉及值域.本文結合實例介紹求函數值域的種常用方法.

一、配方法

配方法是求二次函數值域的主要方法.

【例1】 求函數y=-x2+x+2的值域.

解：因為-x2+x+2=-(x-12)2+94≤94

所以y=-x2+x+2≤94=32

又由函數的定義域知y≥0，所以已知函數的值域為［0，32］

二、換元法

換元法求函數的值域，換元時，一定要換定義域（即新的變量的取值范圍）.

【例2】 求函數y=x+3-x的值域.

解：設x=3cos2θ，3-x=3sin2θ，θ∈［0，π2］

則：y=3cosθ+3sinθ＝6sin(θ+π4)

因為θ∈［0，π2］，所以π4≤θ+π4≤3π4

故原函數的值域為［3，6］

三、反函數法

當函數y=(x)是一一映射時，通過其反函數的定義域來確定函數的值域是求函數值域常用方法.

【例3】 求函數y=5-2xx-3的值域

解：函數y=5-2xx-3的反函數為y=3x+5x+2(x≠-2)

所以函數y=5-2xx-3的值域為y≠-2的全體實數

四、判別式法

判別式在數學解題中是一種重要的角色，在求分式函數的值域時，可把函數關系式轉化為二次方程式.

【例4】 求函數y=2x2+4x-7x2+2x+3的值域

解：原式化為(y-2)2x+2(y-2)x+3y+7=0

求y的值域必須且只須上式關于x的方程有實數解.

當y≠-2時有

Δ=［2(y-2)］2-4(y-2)(3y+7)≥0

解這個不等式得-92≤y≤2

故原函數的值域為［-92，2］

五、最值法

當函數在其定義域內連續時，如y=f(x)在［a，b］上連續，M、m

分別表示f(x)在［a，b］上的最大值和最小值，則f(x)在［a，b］上值域是［m，M］.

【例5】 求函數的值域y=lg(1-2cosx)

解：因為0＜1-2cosx≤3，所以-∞＜y≤lg3

所以函數y=lg(1-2cosx)的值域為(-∞，lg2］

六、數形結合法

“數缺形時少直觀，形少數時難入微”，運用數形結合求函數的值域是很直觀的方法.

【例6】 求函數y=4smx+12cosx-4

的值域

解：因為y=4sinx+12cosx-4=2#8226;sinx-(-14)cosx-2

所以函數的幾何意義是單圓外一點(2，-14)，

與圓u2+v2=1上的點所連線段的斜率的2倍.

由圖2可知，2kPQ≤y≤2kPT，設過P點的直線方程為：

y+14=k(x-2)即kx-y-2k+14=0

令|2k+14|

1+k2

=1

解之得：k1=-34，k2=512

所以原函數的值域為［-32，56］

七、函數的單調法

【例7】 求函數的值域y=x2+5x2+4的值域

解：由y=x2+5

x2+4=x2+4+1x2+4

設t=x2+4(t≥2) 則

y=t+1t

因為 t＞0 t#8226;1t 即t=±1，而±1∈／［2，+∞)

故等號不成立，所以y=t+1t在［1，+∞)上單調遞增，在其子區間［2，+∞)為單調增函數

故原函數的值域為［2.5，+∞).

八、導數法

對求三次函數的值域，用導數法比較方便.

【例8】 求函數f(x)=x3-3x在x∈(-32，32)上的值域

解：令f′(x)=3x2-2=0

解之得 x1=1 x2=-1

且 f(1)=-2 f(-1)=2

又有f(-32)=98，f(32)=-98

所以函數f(x)=x3-3x在(-32，32)上的值域為［-2，2］

求函數值域方法靈活多樣，解題時要對題目進行分析，合理地選擇簡便的方法進行求解.

(責任編輯 ）