二項式定理的高考試題分類剖析

一、求多個二項式的積（和）的展開式中條件項的系數

【例1】 （2007，江蘇）若對任意的實數x，有x3=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+a3(x-2)3

，則a2的值為（）.

A.3 B.6 C.9 D.12

分析：設x-2=t，則x=2+t，

原式=(2+t)3=a0+a1t+a2t2+a3t3，∴a2=C23#8226;2=6

，選D.

【例2】 (2005，浙江)在(1-x)5+(1-x)6+(1-x)7+(1-x)8

的展開式中，含x3的項的系數是().

A.74B.121C.－74D.－121

分析：(1-x)5+(1-x)6+(1-x)7+(1-x)8

的展開式中，含x3的項由(1-x)5、(1-x)6、(1-7)7、(1-8)8的開展式中含x3的項相加得到即C35(-x)3+C36(-x)3+C37(-x)3+C38(-x)3=-121x3，選D.

【例3】 (1998，全國)(x+2)10#8226;(x2-1)展開式中含x10的系數為 .

分析：(x+2)10#8226;(x2-1)展開式中含x10的項由(x+2)10展開式中含x2的項乘以-1，再加上(x+2)10展開式中含x8的項乘以x2得到，即C010x10#8226;(-1)+C210x822#8226;x2，故所求的x10的系數為：C010#8226;(-1)+C210#8226;22=179.

二、求多項式的和

【例4】 （2007，福建）把1+(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)n展開成關于x的多項式，其各項系數之和為an，則limn→∞2an-1an+1=

().

A.14 B.12 C.1 D.2

分析：設1+（1+x）+(1+x)2+(1+x)3+…+（1+）n=b0+b1x+b2x2+…+bnxn，令x=1，則各項系數和an=1+2+22+…+2n=1-2n+11-2=2n+1-1

，因此limn→∞2an-1an+1=limn→∞(2-3an+1)=2

，故選D.

【例5】 (1999，全國)若(2x+3)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，則(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2的值為().

A.1 B.-1 C.0 D.2

分析：(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2=(a0+a1+a2+a3+a4)(a0-a1+a2-a3+a4)，

設f(x)=(2x+3)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，a0+a1+a2+a3+a4=f(1)=(2+3)4

，

且a0-a1+a2-a3+a4=f(-1)=(-2+3)4，所以原式=f(1)#8226;f(-1)=1.

三、求冪指數n

【例6】 （2007，安徽）(2x3+1x)n的展開式中含有常數項，則最小的正整數n等于 .

分析：Tr+1=Crn(2x3)n-r(1x)r=2n-rCrnx3n-72r

，令3n-72r=0，得6n=7r.∵n，r∈N*，∴n的最小值為7.

四、求二項式中有關元素

【例7】 (2007，天津)若(x2+1ax)6的二項展開式中x3的系數為52，則a= .

分析：Tr+1=Cr6(x2)6-r(1ax)r=(1a)rCr6x12-3r，令12-3r=3，

得r=3，則(1a)3C36=52，解得a=2.

五、有關整除問題

【例8】 1-90C110+902C210-903C310+…+9010C1010

除以88的余數是().

A.-1 B.1 C.-87 D.87

分析：1-90C110+902C210-903C310+…+(-1)k90kCk10+…+9010C1010=(1-90)10=8910=(88+1)10=8810+C110889+…+C91088+C1010

，所以余數為1，選B.

【例9】 1+3+32+33+…+399被4除所得余數是 .

分析：1+3+32+33+…+399=1-31001-3=12(3100-1)=12［(4-1)100-1］

=12［4100-C1100499+C2100498+…+Cr1004100-r(-1)r+…-C991004+C100100-1］

=12［4100-C1100499+…+Cr1004100-r(-1)r+…-C991004

］

，被4除的余數為0.

六、利用二項展開式求和

【例10】 求C020-C220+C420-C620…-C1820+C2020

的值.

分析：本題與復數結合，考查了應用二項展開式的能力.

在(a+b)n=C0nan+C1nan-1b+C2nan-2b2+…+Cnnbn

中，令n=20，a=1，b=i，

有C020+C120i+C220i2+…+C1920i19+C2020i20=(1+i)20=［(1+i)2］10=-1024，

即(C020-C220+C420-C620…-C1820+C2020

)+(C120-C320+C520-C720+…-C1920

)i=-1024，

所以C020-C220+C420-C620…-C1820+C2020=-1024

.

七、求近似值

此類試題是利用二項式定理的展開式求近似值，主要是考查利用二項式定理進行近似計算的能力.

【例11】 1.9987精確到0.001的近似值為 .

分析：1.9977=(2-0.002)7=27+C1726(-0.002)+C2725(-0.002)2+…≈27+C1726(-0.002)+C2725(-0.002)2=128-0.896+0.002688≈127.107

.

【例12】 (2008年北京博恩教育數學研究所)藍色象限儀流星雨是北半球三大流星雨之一，其特點是流量穩定，速度中等，亮度較高，星體以藍色為主.這場“流星雨”在2006年底就開始活躍，于2007年1月4日上午8時30分達到極盛，每小時約有120顆左右的流星劃過天際，其極盛時間為兩小時，若每顆流星穿過大氣層落在某行星的表面上的概率均為0.001，則在極盛的兩小時內，至少有一顆流星落在地面上的概率約為().

A.0.3524 B.0.2687 C.0.2113 D.0.1253

分析：因為每小時約有120顆左右的流星劃過天際，其極盛時間為兩小時，若每顆流星穿過大氣層落在某行星表面上的概率均為0.001，所以至少有一顆流星落在行星表面上的概率為

P=1-(1-0.001)240≈2400.001-C22400.0012=0.2113.

【例13】 （1996，全國）某地現有耕地10000公頃，規劃10年后糧食單產比現在增加22%，人均糧食占有量比現在提高10%，如果人口年增長率為1%，那么耕地平均每年至多只能減少多少公頃（精確到1公頃）？

(糧食單產＝總產量耕地面積，人均糧食占有量＝總產量總人口數)

分析：設耕地平均每年至多減少x公頃，又設該地區現有人口P人，糧食單產M噸/公頃，依題意得，

M（1+22%）#8226;(10000-10x)P(1+1%)10≥10000MP(1+10%)

，化簡得x≤1000［1-1.1(1+0.01)101.22］

，

∵(1+0.01)10=1+C1100.01+C2100.012+…≈1.1045，

∴x≤1000(1-1.11.10451.22)≈4.1

，即耕地平均每年至多只能減少4公頃.

八、最大項系數與最大二項式系數

求系數最大的項需要靈活運用公式：第k項的系數Ar≥第k-1項的系數Ak-1，第k項的系數Ar≥第k+1項的系數Ak+1

.

而求二項式系數最大的項必須考慮冪指數n：①當n為偶數時，二項式系數最大的項是第Tr+1項，②當n為奇數時，二項式系數最大的項是第Tr項和第Tr+1項.

【例14】 已知(1+2x)n的展開式中，某一項的系數是它前一項系數的2倍，是它后一項的系數的56.

(1)求該展開式中二項式系數最大的項；

(2)求該展開式中系數最大的項.

分析：(1)第r+1項系數為Crn2r，第r項系數為Cr-1n2r-1，第r+2項系數為Cr+n2r+1，則Crn2r=2Cr-1n2r-1，Crn2r=56Cr+1n2r+1

，

整理得Crn=Cr-1n，Crn=53Cr+1n

，

即2r=n+1，5(n-r)=3(r+1)，

得n=7

，

所以二項式系數最大的項是第4項和第5項:

T4=C37(2x)3=280x32，T5=C47(2x)4=560x2

.

(2)假設第r+1項的系數最大，則

Cr72r≥Cr-172r-1，

Cr72r≥Cr+172r+1，

即7!r!(7-r)!2r≥7!(r-1)!(8-r)!2r-1，

7!r!(7-r)!2r≥7!(r+1)!(6-r)!2r+1，

即

2r≥18-r，17-r≥2r+1，

解得133≤r≤163，∵r∈N，∴r=5即第6項的系數最大，則展開式中系數最大的項為T6=C57(2)x5=672x52.

參考文獻

［1］熊斌.不等式和云砧似叮不等式及其應用［J］.數學通訊，2005（15）.

［2］鄒守文.一類三角形不等式的統一證明［J］.中學數學，2002（12）.

［3］陳燕萍.用代數代換法證競賽中的不等式問題［J］.中學數學研究，2002（3）.

(責任編輯 鄧國勛 特約編輯 蔣邕平）