淺談滾動(dòng)剛體的摩擦力

摘 要:摩擦力是我們生活中最平常的力，它直接影響我們的日常生活和產(chǎn)生不同的效應(yīng)。摩擦力，就我們所學(xué)的知識(shí)來說它有不同的分類。本文主要是從實(shí)例出發(fā)談了一下生活中常見的物體先滾還是先滑的判斷條件，并詳細(xì)討論了對(duì)滾動(dòng)剛體所受摩擦力的方向的簡(jiǎn)易判法。

關(guān)鍵詞:摩擦力;靜摩擦力;滾動(dòng)摩擦力

引言:摩擦力是我們?nèi)粘Ｉ铍x不開的一種力，自從盤古開天以來摩擦力伴隨著我們?nèi)祟惖陌l(fā)展而逐漸地讓我們大家對(duì)它有了新的認(rèn)識(shí)和發(fā)現(xiàn)。本文主要從實(shí)例中提出物體先滾還是先滑的判斷條件，并詳細(xì)討論了對(duì)滾動(dòng)剛體所受摩擦力的方向的簡(jiǎn)易判法。

一、 滾動(dòng)摩擦力

物體滾動(dòng)時(shí)，接觸面一直在變化著，物體所受的摩擦力，稱為“滾動(dòng)摩擦力”。它實(shí)質(zhì)上是靜摩擦力。接觸面愈軟，形狀變化愈大，則滾動(dòng)摩擦力就愈大。一般情況下，物體間的滾動(dòng)摩擦力遠(yuǎn)小于滑動(dòng)摩擦力。在交通運(yùn)輸及機(jī)械制造工業(yè)上廣泛應(yīng)用滾動(dòng)軸承，就是為了減少摩擦力。例如，火車的主動(dòng)輪的摩擦力是推動(dòng)火車前進(jìn)的動(dòng)力，而被動(dòng)輪所受之靜摩擦則是阻礙火車前進(jìn)的滾動(dòng)摩擦力。

二、 剛體摩擦力方向的判斷

如果把剛體與接觸物均看做絕對(duì)剛體，就不必考慮滾動(dòng)摩擦力矩的影響，以下討論均以此假設(shè)為前提。作純滾動(dòng)的剛體，它與其他物體接觸點(diǎn)處的速度為零，因此觸點(diǎn)處如有摩擦力存在，必為靜摩擦力。由于靜摩擦力的大小和方向均與運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有關(guān)，對(duì)我們來說，判斷較為困難。為此，我提出一個(gè)較為簡(jiǎn)易的具體的判斷方法，如下。判斷作純滾動(dòng)剛體的靜摩擦力的方向，可先假設(shè)其不受到靜摩擦力的作用，判斷出此時(shí)觸點(diǎn)相對(duì)于接觸面運(yùn)動(dòng)的加速度方向或運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)，為保證剛體作純滾動(dòng)，接觸點(diǎn)受摩擦力的方向應(yīng)與假定無摩擦力時(shí)的加速度方向相反。這里所指的加速度是指觸點(diǎn)沿接觸面的切向加速度。

下面以實(shí)例說明。① 恒力F作用在半徑為r的均質(zhì)小球的質(zhì)心C處，使之在粗糙的平面上作純滾動(dòng)，如圖1所示。若假定摩擦力f不存在，因F過質(zhì)心，故小球有向F方向平動(dòng)的趨勢(shì)，因此觸點(diǎn)A也有向F方向運(yùn)動(dòng)的趨勢(shì)，所以靜摩擦力f水平向左，以阻礙觸點(diǎn)A向右運(yùn)動(dòng)。② 若開始小球以角速度ω0，質(zhì)心以速度V0。在水平面上向右作純滾動(dòng)，在質(zhì)心上作用一水平向左的外力F，如圖2所示。如果不考慮摩擦力，由于質(zhì)心受到一水平向左的恒力F作用，會(huì)產(chǎn)生一向左的加速度，因而觸點(diǎn)A會(huì)產(chǎn)生一相同的切向加速度，而純滾動(dòng)條件下觸點(diǎn)A處的速度為零，為了阻礙這種運(yùn)動(dòng)的趨勢(shì)，以保證點(diǎn)A處的速度仍為零而作純滾動(dòng)，所以A點(diǎn)的靜摩擦力f一定水平向右，與F反向。③若是質(zhì)量為m，半徑為r的小球在半徑為R的粗糙大球面底部作純滾動(dòng)如3圖所示。則小球的質(zhì)心要受到一個(gè)指向平衡位置O的切向外力F=mgsinθ作用，顯然觸點(diǎn)A有向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)的趨勢(shì)，所以摩擦力f仍與F反向，且總是背離平衡位置O，由于過了平衡位置后向上運(yùn)動(dòng)時(shí)，切向力F若調(diào)向了，所以摩擦力f也跟著調(diào)向，在平衡位置處因F=0，所以f=0，由此可知在來回滾動(dòng)的過程中，f總是隨著切向力動(dòng)的變化不斷由大到小再到零，然后又由零到小再到大，平衡位置即是f=0的那一點(diǎn)。與此相對(duì)應(yīng)即可得知，小球沿斜面向下滾動(dòng)時(shí)，摩擦力向上，小球沿斜面向上滾動(dòng)時(shí)，摩擦力仍然向上。由于在斜面上運(yùn)動(dòng)切向力mgsinθ的大小不變可推知，此時(shí)摩擦力的大小也不變。由以上討論可知，只要外力F作用在剛體的質(zhì)心上使之作純滾動(dòng)，則摩擦力總是與外力反向，且為靜摩擦力。④若外力作用線不通過質(zhì)心，此時(shí)觸點(diǎn)A處的摩擦力的方向不僅與外力的方向有關(guān)，而且還與力的作用線至質(zhì)心的垂直距離有關(guān)。避免因作用力F不過質(zhì)心平面而產(chǎn)生側(cè)向的旋轉(zhuǎn)，實(shí)際生活中產(chǎn)生此類運(yùn)動(dòng)的以圓柱體為多。

三、 “連滑帶滾”剛體所受的摩擦力

有些情況下，剛體并非作純滾動(dòng)，而是既有滾動(dòng)，又有滑動(dòng)，稱之為“連滑帶滾” ，此時(shí)觸點(diǎn)與接觸面間的相對(duì)速度不再為零，剛體受到的摩擦力應(yīng)為滑動(dòng)摩擦力，條件ω0=rω不再成立，但f=uN產(chǎn)成立了。利用上面的判斷方法，也可先不考慮摩擦，判斷出觸點(diǎn)相對(duì)地面運(yùn)動(dòng)的方向，然后再判斷摩擦力的方向。例1:設(shè)一面粗糙一面光滑的平板，質(zhì)量為M，光滑面放在水平桌面上，粗糙一面上放一質(zhì)量為m半徑為r的球。若沿木板長(zhǎng)度方向突然給木板一初速v0，問此球經(jīng)多少時(shí)間以后開始滾動(dòng)而不滑動(dòng)?如圖4所示，由于木板向右運(yùn)動(dòng)，因而球的觸點(diǎn)A有向后運(yùn)動(dòng)的趨勢(shì)，所以其受到的摩擦力水平向右與v0同向，且f=uN。對(duì)小球用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理及相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理，可求出觸點(diǎn)A的速度表達(dá)式為V0+rω=ugt;再對(duì)木板用牛頓第二定律得其速度表達(dá)式為V=V0-ugt;當(dāng)VA=V0時(shí)觸點(diǎn)A對(duì)板的相對(duì)速度為零，球開始作純滾動(dòng)，此時(shí)f=uN不再成立。由此算出所經(jīng)歷的時(shí)間為t=V0÷()ug。此后因觸點(diǎn)無相對(duì)運(yùn)動(dòng)的趨勢(shì)，且F=0，所以摩擦力f=0，小球?qū)⒈３謩蛩贊L動(dòng)狀態(tài)不變。

小結(jié):以上我們討論了純滾動(dòng)或“連滑帶滾” 的剛體所受摩擦力的方向的判斷方法，至于摩擦力的大小，則可通過對(duì)剛體用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理及相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理，聯(lián)列求解，并對(duì)純滾動(dòng)加上約束方程a0=rω，對(duì)“連滑帶滾”用f=uN，即可求出摩擦力的大小。

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