淺談向量在幾何中的應用

解決立體幾何問題“平移是手段，垂直是關鍵”，空間向量的方法是使用向量的代數方法去解決立體幾何問題，兩向量共線易解決平行，兩向量的數量積則易解決垂直、兩向量所成的角、線段的長度問題。合理運用向量解決立體幾何問題，很大程度上避開了思維的高強度轉換，避開添加輔助線，代之以向量計算，使立體幾何問題變得思路順暢、運算簡單。

一、 空間向量在平行、垂直問題中的應用

例1：在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是正方形，側棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點，作EF⊥PB交PB于點F。⑴證明PA//平面EDB；⑵證明PB⊥平面EFD。

解析：建立空間直角坐標系，D為坐標原點，設DC=a.（1）連結AC，AC交BD于G，連結EG，依題意得A(a，0，0)，P(0，0，a)，E(0，，). ∵底面ABCD是正方形，∴G是此正方形的中心，故點G的坐標為(，，0)，且=(a，0，-a)，=(，0，-)，∴=2，這表明PA//EG。而EG?奐平面EDB且PA?埭平面EDB，∴PA//平面EDB。（2）依題意得B(a，0，0)，=(a，a，-a)，又=(0，，)，故·=0+-=0，∴PB⊥DE，由已知EF⊥PB，且EF∩DE=E，所以PB⊥平面EFD．

評析： 用向量法證明線面平行的另兩種常見方法是:①利用共面向量定理，證明存在實數，使得=x+y；②證明向量與平面EDB的一個法向量垂直。在證題過程中，我們可以發現，用向量處理這類問題最大特色是：可以將嚴格幾何演繹推理轉化為簡單代數推理方式，大大縮短了教與學所花費的時間，同時也讓同學通過更高的數學思維方式，抓住了事物的主要特征和內在規律，為他們繼續學習打下良好的基礎。

二、 空間向量在角度問題中的應用

（1）異面直線所成角。在傳統方法求解異面直線夾角時，一般要選取異面直線中某一條直線上的一個特殊面作另一條直線的平行線，但有時候，為了找到易于計算的平行線，要費一番心思構造輔助面、輔助體，但也有時候會感到無從著手。例2：四棱錐中P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是直角梯形，其中DA⊥AB，AD∥BC.PA=2AD=BC=2，AB=2。求：異面直線PC與AD所成角的大小。解：解法一：由題意，四邊形ABCD是直角梯形，且AD∥BC，則PC與AD所成的角即為∠PCB.因為DA，又平面⊥AB?圯BC⊥AB，又PA⊥平面ABCD，所以BC⊥平面PAB，則有∠PCB=900，因為PB==2，BC=2，所以tan∠PCB===，則∠PCB=，即異面直線PC與AD所成角的大小為.解法二：以A為原點，直線AB為x軸、直線AD為y軸、直線AP為z軸，建立空間直角坐標系。于是有p(0，0，2)、C(2，2，0)，則有=(2，2，-2)，又=(0，1，0)則異面直線PC與AD所成角?茲滿足cos?茲===，所以，異面直線PC與AD所成角的大小為.整個操作過程，非常簡捷。對于那些求異面直線夾角運用傳統方法求解難度較大的題目，用向量的方法進行處理，就能降低難度，較簡捷地得出結果。這樣的方法，更易于學生掌握。

（2）直線與平面夾角、二面角。傳統方法中，求直線與平面夾角，二面角并不容易。求直線與平面的夾角，關鍵在于找垂足；求二面角，關鍵在于找二面角的平面角。無論是前者還是后者，關鍵是所要尋找的對象，有時候要費一番心才能找到。即使找到了，也有可能在計算上有較大的困難。我們來看一道例題。例3：三棱柱ABC-A1B1C1的底面是邊長為2的正三角形且側棱垂直于底面，側棱長是，D是AC的中點。(1）求二面角A1-BD-A的大小；(2)求直線AB1與平面A1BD所成的角的正弦值。

解法一：（1）∵正三棱柱ABC-A1B1C1，∴AA1 ⊥底面ABC。又BD⊥AC，A1D⊥BD，∴∠A1DA就是二面角A1-BD-A的平面角。∵AA1=，AD=AC=1，∴tan=∠A1DA==，∴∠A1DA=， 即二面角A1-BD-A的大小是 。（2）由（1）作AM⊥A1D，M為垂足。BD⊥AC，平面A1ACC1⊥平面ABC，平面A1ACC1∩平面ABC=AC，∴BD平面A1ACC1，∵AM?奐平面A1ACC1，∴BD⊥AM，∵A1D∩BD = D，∴AM⊥平面A1DB，連接MP，則∠APM就是直線A1B與平面A1BD所成的角。∵AA1=，AD=1，∴在Rt△AA1D中，∠A1DA=，∴AM=1×sin600=，AP=AB1=。∴sin∠APM===.∴直線AB1與平面A1BD所成的角的正弦值為。

解法二：（1）建立空間直角坐標系，則D（0，0，0），A（1，0，0），A1（1，0，），B（0，，0），B1（0，，），∴=（-1，，-），=（-1，0，-）。設平面A1BD的法向量為n=（x，y，z），則n·=-x+y-z=0，n·=-x-z=0，則有X=-Y=0，得n=（-，0，1）。由題意，知=（0，0，）是平面ABD的一個法向量。設n與AA1所成角為?茲，則cos?茲=，∴?茲=，∴二面角A1-BD-A的大小是。（2）由已知，得=（-1，，），n=（-，0，1），則cos?琢==，∴直線AB1與平面A1BD所成的角的正弦值為。由此可見，用向量處理這類問題，可以使求解過程得到簡化，與此同時，還可以得到一種統一的處理方法，體現了向量在處理立體幾何問題特別是角度問題時的高效性，同時也擴展了他們的視野，讓同學們接觸到一種更高的數學思維方式，用這種方式去處理問題，使復雜的問題簡單化、統一化。

三、 空間向量在長度問題中的應用

空間的距離問題可以通過確定兩圖形的公垂線段來求之，但要找出公垂線段并不容易；也可以用“等體積法”，但需要進行大量的運算。而用向量處理這類問題，利用公式就可求得。例4：多面體是由底面為ABCD的長方體被截面AEC1F所截面而得到的，其中AB=4，BC=2，CC1=3，BE=1. （Ⅰ）求BF的長；（Ⅱ）求點C到平面AEC1F的距離。

解析：本小題主要考查線面關系和空間距離的求法等基礎知識，同時考查空間想象能力和推理運算能力。解法一：（Ⅰ）過E作EH//BC交CC1于H，則CH=BE=1，EH//AD，且EH=AD.又∵AF∥EC1，∴∠FAD=∠C1EH.∴Rt△ADF≌Rt△EHC1.∴DF=C1H=2.∴BF==2。（Ⅱ）延長C1E與CB交于G，連AG，則平面AEC1F與平面ABCD相交于AG.過C作CM⊥AG，垂足為M，連C1M，由三垂線定理可知AG⊥C1M.由于AG⊥面C1MC，且AG?奐面AEC1F，所以平面AEC1F⊥面C1MC.在Rt△C1CM中，作CQ⊥MC1，垂足為Q，則CQ的長即為C到平面AEC1F的距離.由=可得，BG=1，從而AG==，由∠GBA=∠MCG知，CM=3cosMCG=3cosGAB=3×=，∴CQ===.

解法二：（I）建立空間直角坐標系，則D（0，0，0），B（2，4，0），A（2，0，0），C（0，4，0），E（2，4，1），C1（0，4，3）.設F（0，0，z）.∵AEC1F為平行四邊形，∴由AEC1F為平行四邊形，∴由=得（-2，0，z）=(-2，0，2)，∴z=2.∴F(0，0，2).∴=(-2，-4，2).于是=2，即BF的長為2。（II）設為平面AEC1F的法向量，顯然不垂直于平面ADF，故可設=（x，y，1），由·=0·=0，得0×x+4×y+1=0-2×x+0×y+2=0即4y+1=0-2x+2=0，x=1-y=-，又=（0，0，3），設與的夾角為a，則cosa===.∴C到平面AEC1F的距離為d=cosα=3×=.

（無棣縣第一高級中學）