新教材《不等式》的教學體會

不等式是中學教學的重要內容之一，是進行計算、推理、數學思想方法滲透的重要題材，也是中學數學其他內容的基本支柱。下面，就依據新教材談談自己教學這一部分內容的一些體會。

一、 教材分析

（1）不等式的地位與作用。①不等式是中學數學基本內容，其性質及解法在其他內容中得到體現和應用，如函數的定義域、單調性、最值、復數有關問題等等。②不等式有著廣泛應用，如建房面積、人口增長、經濟發展、生態環境等一系列問題都需用到不等式有關知識。③不等式是培養學生數學思想方法的良好題材，如分類討論問題、整體換元、數形結合、轉化化歸。

（2）不等式的重點與難點。不等式這一部分的重點內容是不等式的性質及一些常見不等式的解法，難點內容是實際應用及解不等式所涉及的分類討論、轉化化歸、換元等數學思想方法的理解和應用。

（3）新教材與舊教材的比較。①內容的合理性。針對職業中學學生的實際情況，新教材降低了起點，以中學內容為主體，穿插了許多初中基本內容，這樣既達到復習舊知識和掌握新知識的目的，又進一步增強學生學習的信心，從而激發學生的學習興趣。如一元一次不等式（組）、一元二次方程（函數），在初中已經學過，但在新教材中不但提出來，而且又系統復習了有關內容，這在以往的教材中是從來沒有過的。②例題、習題的層次性。新教材根據不同的專業及學生的差異，例題和習題進行分層編排，以往教材只分了兩個層次，但新教材分層更細化、更清楚。新教材的習題分四個層次，第一層次是課內練習，基本與課內講例一一對應，學生通過模仿例題就能順利完成；第二層次是A類課外習題，它的要求和功能與課內練習相同，可以說是“依葫蘆畫葫蘆”；第三層次是B類課外習題，它的功能與要求則是“依葫蘆畫瓢”，需要學生對所學知識稍有改造或創造，達到“依貓畫虎”的地步。應該說，這樣的習題配備既有針對性又有實效性，既減輕了教師的負擔又增加了學生選擇的空間。③注重知識的實際應用。新教材把培養學生用數學的意識貫穿教材始終，著重體現以人為本、大眾數學和問題解決的現代數學思想。新教材在不等式部分多次涉及人口控制、機械、濃度等實際應用問題，充分體現了不等式知識在社會生活中的廣泛應用，從而突出地反映了數學“源于生活、服務生活”的辯證觀。④滲透了數學思想方法。不等式這一部分涉及的數學思想方法較多，如一元二次不等式的解法借于一元二次函數（方程）得出，體現了數形結合的數學思想方法，如分式不等式、絕對值不等式的解法體現了分類討論、轉化化歸、整體換元數學思想方法。在教學活動中滲透數學思想方法，對提高學生分析問題和解決問題能力是十分重要的，在提倡素質教育的今天更有重要的意義。⑤閱讀教材的使用性。不等式這一部分的閱讀材料是絕對值不等式的幾何解法。較之以往教材，這樣的內容既及時鞏固前面所學內容，又拓寬了學生的知識面，培養學生數形結合的數學思想方法，從而進一步提高了學生學習數學的能力和興趣。⑥例題的規范化、通俗化。新教材對例題的處理比以往更加重視，有的例題不僅有詳細的解法，還有思路分析。另外，解題的過程思路清晰，步驟規范、通俗易懂，這樣既便于學生理解掌握知識，又便于學生自學。

二、 教學體會

（1）教學中應重視的幾個環節。①重視雙基。由于新教材編寫起點較低，初中內容較多，部分教師認為教學內容簡單，學生易理解掌握。但事實上，我們應該看到，近年來職業中學的學生生源素質普遍下降，這些學生基本概念不清，思維混亂，學習習慣差。因此，教者必須結合實際，掌握學生的基本情況，認真抓好雙基的教學工作，幫助學生理解概念，夯實基礎，提高他們學習數學的信心。②重視教材。由于新教材改革力度較大，在結構編排、內容難度等方面與以往教材區別較大，如概念的引入，問題的提出與解決，例題、習題的層次性等等，包括分式不等式以往教材都沒有。因此，我們教師必須認真鉆研教材教法，對照教學大綱，采取靈活多變的教學方式，提高課堂效率，達到改革的目的。③重視思維的啟迪。新教材的問題的引入下了一番工夫，如由天平引入不等式的概念與性質，由人口控制引入一元二次不等式的定義，由幾何問題引入絕對值不等式等等。這些都激發了學生的思維，教師在教學過程中應重視這些問題的提出，適當靈活啟迪學生分析問題、解決問題。④重視解題研究和問題解決策略?！皢栴}是數學的心臟”，學習數學的過程與數學解題緊密相關，而數學能力的提高在于解題化為[f(x)-a][f(x)-b] <0 去解決。再如教材P97B組2（1）3<│4x+1│≤5通常轉化為解不等式組，但根據絕對值的集合意義及整體思想可轉化為3<4x+1≤5或-5≤4x+1<-3。│4x+1│≤5│4x+1│＞3一般結論：a<│f(x)│

（2）教學中的幾個注意點。①不等式的形式與對應的口訣要一致，如0<(x+2)(x-1)有的學生寫解集為（-2，1），再如2<│x│，有的學生解集寫成（-2，2）等等。②注意限制條件。如│x│<-2，有的學生不假思索寫解集為（-2，2）。③解不等式時一定要注意最高項系數是否為正，如：（x-2）（1-x）<0，有的學生容易把解集寫成（1，2）等等。再如分式不等式、絕對值不等式，也要養成系數化為正的習慣，教師在教學中應著重強調，盡量減少學生解題的錯誤。④重視“△”的作用，如解關于x 的不等式x2-2(a+1)x+1<0，有的學生很快寫成這樣的一元二次方程根的關系。一元二次不等式與一元二次函數（方程）之間的緊密關系是眾所周知的，事實上一元二次不等式解集與二次方程根之間的關系也是十分重要的。例如，已知一元二次不等式ax2+bx+1＞0的解集是(-1/2，1/3)，求不等式 x2+bx+a<0的解集，由題意知-1/2，1/3是方程ax2+bx+1=0的根且a<0，于是根據韋達定理先求出a、b，再求不等式x2+bx+a<0的解集(a=-6 ， b=1) 。

（3）教材內容的幾點補充介紹。①不等式的性質，教材只介紹了不等式的三個基本性質和不等式的傳遞性。教學中可適當補充其他性質，如a＞b， c＞d?圯a+c＞b+d；a＞b＞0，c＞d＞0?圯ac＞bd；a＞b＞0?圯an＞bn(n＞o)等等。②串根法的介紹。對于高次不等式的解法新教材沒有介紹，而在教材P89C組第二題就用到這一知識，因此，教師必須補充簡單高次不等式的解法。

（4）關于教材內容教法的幾點探討。①關于│ax+b│＜k的解法。教材是這樣轉化的：│ax+b│＜k?圳-k＜ax+b＜k， 即ax+b＞-k(1)，ax+b＜k(2)，然后再求（1）（2）解集的交集，教材中的例題也是這樣來解決的。事實上│ax+b│＜k直接轉化-k＜ax+b＜k再利用不等式的性質來解即可。如:│2x-3│≤0.5?圳-0.5≤2x-3≤0.5?圳2.5≤2x≤3.5?圳1.25≤x≤1.75。②一元二次不等式的解法是一個難點，特別是△=0、△＜0 的情形，學生比較難理解，筆者曾嘗試這樣引導學生來理解其解法：

（a）△＞0時，解集只要記住口訣“大于在兩根之外，小于在兩根之間”即可。（b）△=0時ax2+bx+c可以配成關于x 的完全平方，再利用平方的非負數來解決，例如x2+2x+1≤0?圯(x+1)2≤0?圯x+1=0，再如，x2+2x+1＞0?圯(x+1)2＞0?圯x+1≠0。（c）△＜0時，ax2+bx+c可以配成關于x 的完全平方再加上一個正的常數，例如，x2+2x+2＜0?圯(x+1)2＋１＜0，通過平方的非負性和不等式的性質，很容易得出結論。需要說明的是，我們仍必須重視一元二次函數與一元二次不等式、方程之間的關系，本文解法僅對一元二次不等式的解法提供另一種方法策略。

（泰興中等專業學校）