淺析排列組合應(yīng)用題解題中的轉(zhuǎn)化策略

排列組合是高中數(shù)學的一個重要組成部分，近年來由于概率納入高中必修內(nèi)容部分，其地位也更加體現(xiàn)出來。排列組合問題是計數(shù)問題中的一種常見問題。由于其解法往往是構(gòu)造性的，因此方法靈活多樣，不同解法直接導致了問題解決的難易變化很大。而且解題過程出現(xiàn)“重復”和“遺漏”的錯誤較難自檢發(fā)現(xiàn)，因而對這類問題進行歸納總結(jié)，并掌握一些常見類型問題的解題方法、解題策略顯得尤為重要。

在數(shù)學問題的解決中，我們常常會通過數(shù)學轉(zhuǎn)化，通過變更命題的形式、條件、背景等等，促使問題更加熟悉、更加簡捷、更加方便解決。這里希望通過對一些具體的排列組合應(yīng)用題的解決來體會數(shù)學轉(zhuǎn)化策略的應(yīng)用，以使我們在解決此類問題時能更加具有靈活和有針對性。

一、運用模型，轉(zhuǎn)化問題背景

問題模型化，常常可以使問題更加系統(tǒng)，容易解決。這里我們先看看以下的模型(黑白球的排列問題)。

(1)5個不同的白球、3個不同的黑球，排成一排，有多少種排列方法?

(2)5個相同的白球、3個不同的黑球，排成一排，有多少種排列方法?

(3)5個相同的白球、3個相同的黑球，排成一排，有多少種排列方法?

不難發(fā)現(xiàn)他們的結(jié)果各不相同，本質(zhì)區(qū)別在于白球、黑球是否可辨別(即視為相同還是不同)。下面我們看看以下的兩個例題。

例1:(熄燈問題)某城市新建的一條道路上有12只路燈，為節(jié)約用電而不影響照明，可以熄滅其中三盞燈，但是兩端的燈不能熄滅，也不能熄滅相鄰的兩盞燈，熄燈方法共有 ( )種。

A.C B.CC.CD. C

例1中，直接考慮比較困難，但我們稍加變化，即能轉(zhuǎn)化成我們熟悉的問題，即，9個相同的A和3個相同的B排成一列，要求B不排在兩端，也不相鄰，此時只需將B插入到9個A中即運用插空法可解決。本例反映出問題背景的轉(zhuǎn)化，常常能變陌生為熟悉，大大增強我們解題的信心，也能夠使我們所學習的知識更加系統(tǒng)有序。

二、適當引參，轉(zhuǎn)化問題結(jié)論形式

很多問題是我們熟悉的問題變化所產(chǎn)生的，如果能夠變更問題的結(jié)論形式，使他們與以前所學習的問題聯(lián)系起來，常常會起到事半功倍的效果。

例2:先看這么兩個問題:

問題1，求方程x+y+z+w=10的正整數(shù)解的個數(shù)。

問題2，求不等式x+y+z<10的正整數(shù)解的個數(shù)。

問題1可以聯(lián)系到模型:“將10個相同的小球放入4個不同盒子”。這個模型可以運用擋板法解決。即用3個擋板插入到10個球中將其分開。但問題2就很難想到解決方法，可能最容易想到的就是列舉法了，但列舉法解決的問題畢竟有限，數(shù)字稍微變大，就麻煩了。此時，如果考慮引進參數(shù)，即設(shè)w=10-x-y-z(w>0)，這時問題2也就是問題1了，因為他們是一一對應(yīng)的。

問題3，小明有10顆糖(不可辨)，每天至少吃一顆，只至吃完，那么有多少種吃法?

問題正面分類，考慮分幾天吃，那么問題就很復雜。轉(zhuǎn)化考慮方式，即10顆糖排成一列，每兩顆之間加一擋板，則分為兩天。不加擋板，即在一天吃完。因此，問題轉(zhuǎn)化為，九個間隔位置上是否加擋板。即吃法有N=299。

所以，在轉(zhuǎn)化時，通過對問題結(jié)論形式的變化，往往可以化繁為簡，化生為熟，有效解決問題。

三、運用集合語言，轉(zhuǎn)化問題敘述形式

例3:(跑步問題)6名運動員參加4×100接力賽，要求甲不跑第一棒且乙不跑第四棒，有多少種安排方法?

本題在解決時，如果從集合角度來看問題，敘述成集合語言形式，可以更加明確、嚴密。比如，記A:甲跑第一棒，B:乙跑第四棒。所求就是6人參加4×100中，既不滿足A也不滿足B的安排方法。對應(yīng)解法: card(C1A∩C1B)=card(I)-card(A)-card(B)+card(A∩B)。

即安排方法數(shù)為A-A-A+A=252。也可以這樣:記A為甲不跑第一棒，B跑第四棒，即:card(A∩C1B)=card(A)-card(A∩B)=5A-4A=252。可見，同樣是運用集合語言，解決方法也不盡相同。但可以肯定的是，運用集合語言，常常可以使問題更加簡潔、具有普遍性。

四、正難則反，轉(zhuǎn)換問題解決角度

解題猶如攻城，必須知己知彼，正面的敵人多，相應(yīng)的反面自然會少。這里我們看如下的問題:

例4:取正方體的8個頂點中的4個可以構(gòu)成多少個三棱錐?

本題在解決時，由于正面情況不共面的四點組比較復雜，因此容易產(chǎn)生重復或者遺漏。然而，從反面考慮，即共面的四點組則比較少。即C-12=58。

正難則反的策略在題目中出現(xiàn)“至少”或者“至多”時常常會起到避實就虛的功效。

五、運用對應(yīng)思想，變換命題結(jié)論形式

在解決問題時，如果能和已解決過的問題建立起聯(lián)系，那么問題就會變得更加方便解決。

例5:取正方體的棱和面對角線、體對角線可以組成多少對異面直線?

如果真的直接考慮直線有幾條，再考慮異面直線有幾對，問題就會非常復雜，原因在于重復太多。此時，如果能和例5聯(lián)系起來，即不共面的四點組對應(yīng)于3對異面直線。則容易得到:3·(C-12)=174。

這里關(guān)鍵在于將四點組和異面直線建立了對應(yīng)關(guān)系。應(yīng)用對應(yīng)思想，能夠靈活轉(zhuǎn)化命題結(jié)論，正如“化敵為友”。

當然，學好排列組合僅僅會靈活轉(zhuǎn)化是不夠的，需要我們在學習中不斷歸納總結(jié)，以用理論指導我們的實踐。

(樂清市柳市中學)