對微積分中極限思想教學的探討

摘 要:本文通過極限概念在高等數學中導數與積分概念中的應用，分析極限思想的共性，體現了它在高等數學中的重要性;并探討了極限思想的深刻內涵，提出了微積分中極限思想教學應注意的幾個方面。

關鍵詞:導數;積分;極限思想教學

數學思想是對數學知識和方法的認識，數學方法是解決數學問題、體現數學思想的手段和工具。數學思想方法是形成學生良好的認識結構的紐帶，是由知識轉化為能力的橋梁。

數學是一門工具學科，只有真正理解掌握了數學思想方法和內容，才能夠得心應手的使用這門工具解決現實問題。極限思想是高等數學中重要思想之一，它貫穿了高等數學從始至終的教學內容，所以對極限思想的理解和掌握將直接影響現實生活中對數學工具的運用。

一、高等數學中極限思想的重要性

(1)極限是高等數學中的一個重要概念，也是學生最難于理解的概念之一。在教學中，注重產生極限概念的實際背景的介紹，分析極限定義中各個變量的變化特征與內在聯系，辯證剖析變化過程中的量變與質變、近似與精確等對立統一規律，是訓練和培養學生數學思維，提高綜合素質和能力的重要途徑之一。

(2)極限思想的運用是區別初等數學與高等數學的重要特征，把初等數學中對常量的研究，通過極限思想轉變成高等數學中變量的分析研究過程，同時伴隨著由有限到無限觀念的轉變。極限也是貫穿高等數學的重要知識點，可謂是沒有極限思想就沒有高等數學。高等數學一改初等數學中某一研究過程中的常量始終不變的靜態的思維模式，運用變化的思想——動態思維對數學過程中的變量進行研究。而極限思想在高數中的應用顯著體現于導數與積分內容。

(3)函數是高等數學中導數與積分的主要研究對象，但多數的數學問題都存在對所研究函數連續性的約束和限制。而函數連續性的判斷依據一定要運用極限概念來衡量，因此在運用導數與積分理論解決現實問題時，對研究對象的判定，極限概念起著重要作用。

(4)在高等數學的極限概念中，常量與變量、量變與質變、近似與精確、特殊與一般、局部與整體、微觀與宏觀、直觀與抽象、有限與無限等，這些一對一對的矛盾相依存在而互為存在前提，又在一定條件下相互轉化。這不僅是自然界的普遍規律，也是數學中的普遍規律。這就是極限思想的重要性之一，它體現出了數學中無與倫比的哲學思想美，同時又最大限度地激發了學生的數學思維，也有助于培養學生良好的學習習慣，從而使學生的素質和能力得到不斷提高。

二、微積分中的極限思想實質

數學知識來源于實際生活，同時數學理論又服務于現實生活。正因存在極限方法，才使許多數學問題得到完美的解決。

在定積分、重積分元素法的應用中，無論是不規則的幾何量還是物理量，只要滿足區域可加性，就可采用定積分過程:分割、近似、求和、取極限，來確定其真實值。這正體現了“化整為零、以直代曲、積零為整和無限求和”的極限思想實質，通過“由精確到近似，再由近似到精確”的迂回過程，實現“直與曲、變與不變、有限與無限、近似于精確”的矛盾轉化。如不規則曲邊梯形面積可用規則的矩形面積近似;曲頂柱體體積可用平頂柱體體積近似;密度不均勻的薄片、線形及空間實體的物體質量都可用密度均勻物體的質量近似。正是有了極限概念才使得在分割后的近似過程中，可以采用初等數學中常量關系來近似表示變量關系，最終通過極限過程實現量變到質變的飛躍，將近似過程中產生的誤差減小為零，得到所求量的精確值。

又如在導數應用中，求變速直線運動s=s(t)(對時間具有可加性)在t∈[T1，T2]的瞬時速度v(t0)。用已知(細分后某時間間隔的平均速度v=Δs/Δt(常量關系))“認識”(近似代替)未知(t=t0時刻瞬時速度v(t0))，從量變(在時間間隔Δti最大值趨于零過程中，近似值v精確度不斷提高)產生飛躍到質變(近似值v無限接近精確值v(t0))。用細分——近似代替(以勻代變，以常量關系近似變化關系)——用求比值極限的方法得到瞬時速度:

通過極限過程的運用從而“產生”了導數的概念。

“極限”思想方法揭示了常量與變量、有限與無限、直線與曲線、勻速運動與變速運動等一系列對立統一及矛盾相互轉化的辯證關系。它建立在初等數學之上，但研究對象卻更為廣泛，方法上“更高”，應用上更具普遍性，更接近于生活本身。

高等數學導數與積分概念中對極限的應用，也正是極限思想將初等數學與高等數學完美結合在一起的重要體現，并產生了由有限到無限，由量變到質變的哲學飛躍。正是極限思想的應用，才建立了非常完美的微積分類數學模型，使某些問題的解決有事半功倍的效果。

同時運用極限概念，產生了高等數學中微商與積分兩個互逆的計算過程。歸納導數和積分在極限概念應用中的共性:分割-近似-取極限，這三個共同的過程，并且都是在分割細小化后，運用初等數學中常量數學關系來近似高等數學中的變量問題，最后通過極限過程減小誤差，使不能解決的無規律的變化問題結合極限思想，運用規律化便于計算的函數知識計算出精確結果。這就預示著有了極限思想，也就給出了解決問題的嶄新思維方法，即用運動、變化的方法解決問題，這種動態思維正是“極限”思想的體現。高等數學的極限過程體現出了耐人尋味的、深刻的辯證思想。

三、微積分中極限思想方法教學的幾點建議

(1)綜上所述，極限概念是微積分學最基本、最重要的概念，應把微積分知識的講授與“極限”思想方法傳授同時納入教學目的。極限思想，從本質上講是一種辯證思維，與一般思維有根本的區別。所以在導數與積分教學中，要通過極限概念在微積分中的教學，再次對學生進行數學辯證思維的培養，讓學生深刻體會數學中蘊含的哲學美。

(2)對導數與積分應用過程中極限概念進行歸納總結，通過導數與積分應用的幾何意義，讓學生深刻理解極限思想解決數學問題的實質與精髓，并認識極限思想的重要性。極限思想是高等數學中解決問題最主要的方法，正確運用極限方法解決實際問題，也是高等數學的教學目標之一。

(3)通過一對互逆過程:微分與積分的應用，讓學生深刻理解是極限概念將高等數學與初等數學區別開來，同時又將這兩者緊密聯系在一起。為此充分體現了初等數學知識與高等數學知識銜接與過渡，及高等數學在運動變化中尋求答案的特點。

(4)通過導數、積分應用深刻理解維爾斯托拉斯建立的“ε- N”和“ε-δ”語言，使我們用處理初等數學的傳統思想方法來處理高等數學，同時不失邏輯推理的嚴密性，從極限概念的應用中，再次訓練學生的辯證思維，并認識極限思想的博大精深。極限的思想方法是高等數學的靈魂，在高等數學中的應用極為廣泛。教師在相關內容講授時，可有意識地加以引導，讓學生在學習中真正領會其豐富深刻的內涵，加深對極限理論及相關概念的理解，為后續課程的學習打下堅實的基礎，也為數學學科工具性的充分發揮奠定基礎。

讓我們積極挖掘極限概念中的辯證唯物主義思想，培養學生科學的思維方法和世界觀，培養高素質人才，迎接知識經濟時代的挑戰!

參考文獻:

[1]施紅英.對微積分“極限”思想方法教學的思考[J].甘肅廣播電視大學學報，2005(09).

[2]鄒兆南.極限概念的數學哲學思維剖析[J].重慶交通學院學報(社科版)，2004(12).

[3]楊汝誠.數學分析結構、原理與方法[M].成都:成都科技大學出版社，1992.

[4]裴蜀華.極限概念與辯證思維[J].成都教育學院學報，2005(04).

(西藏大學理學院數學系)