條件“點在曲線上”用法探究

解析幾何中，“點在曲線上”這一條件經常出現在各種數學問題中，由于這一條件不易被初學者掌握，因此本文從“如何用”這個角度來探究。

一、引入點的坐標(x，y)，用消元思想減少變量

條件“點在曲線上”一般方法是，引入點的坐標(x，y)，讓x，y參加運算，這樣比較直接。

例1.已知點P(x，y)在雙曲線x2-2y2=4上，求x+y的取值范圍。

分析:如果式子x2-2y2=4中的x，y用一個元素表示另一個元，這樣式子x+y中會出現根號，且有兩種情況，問題太復雜，我們不妨換位思考，從結論入手，注意到x+y中的x，y都是一次的，不妨整體換元，設x+y=t，則y=t-x，代入曲線方程中，就可以用x限制出t的范圍，注意x?綴(-∞，-2]∪[2，+∞)。

二、引入點的坐標(x，y)，用另一組量替代x，和y

數學中，選取適當的量作為解題過程中參加運算的量往往在解決問題中起到了重要作用，如常見的換元法和整體參加運算等數學方法和技巧。

例2.經過點P(3，0)的直線L與雙曲線x2-2y2=4相交于A，B兩點，求線段AB的中點Q的軌跡方程。

分析:設點Q(x，y)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x-2y=4①，x-2y=4②，x1+x2=2x③，y+y=2y④。

由①②可得(x1+x2)(x1-x2)-2(y+y)(y-y)=0，

即(x1-x2)x-2(y-y)y=0⑤

由四點P，Q，A，B共線，利用共線可得:

(x1-x2)(x-3)+(y-y)(y-0)=0⑥

由⑤⑥可得點Q的軌跡方程為x2-2y2-3x=0。

點評:本問題中直線上有兩點在曲線上，一種方法是設出直線方程x=my+3(特殊情況y=0單獨驗證)，與雙曲線聯立方程組，用根與系數的關系解決，這里雖然只引進一個基本變量m，但運算量大，而上面的分析采用的是“點差法”，其中x1+x2，y+y與線段AB的中點有關，而x1-x2，y-y與直線AB的斜率有關，一般來說，如遇到與中點及斜率有關的問題用“點差法”比較方便 。

三、引入一個元設出點的坐標，用減元思想使目標更明確

數學中，我們總是想方設法減少變量的個數，因此，在用“點在曲線上”這一條件時，我們可直接用一個元設出點的坐標。

例3.設點P在橢圓x2+2y2=4上，求x+y的取值范圍。

分析:設點P(2cos?茲，sin?茲)，則x+y=2cos?茲+sin?茲=sin(?茲+?漬)，其中?漬=arctan，

所以x+y的取值范圍是[-，]。

點評:此法又稱參數法或三角換元法，而本質是用第三個元?茲替換原來的兩個元x，y以減少元的個數。可見當我們用x，y中的一個表示另一個比較復雜時，可設法尋找第三個元，這個元的標準是使問題簡單些。

四、挖掘點的幾何特征，用幾何法簡化過程

解析幾何主要是研究幾何問題，而有時借助曲線的幾何意義去看問題就顯得直觀、明了，因此更易解決。

例4.設F1，F2為橢圓+=1的兩個焦點，P為橢圓上一點，若△PF1F2為直角三角形，且PF1>PF2，求PF1:PF2的值。

分析:PF1+PF2=6，|F1F2|=2。所以若∠PF2F1為直角，由PF=PF+F1F可求得PF1:PF2=2。

點評:若在本題中設P(x，y)用兩點間的距離公式及勾股定理，列出關于x，y的關系式，計算量就偏大。如果研究的問題與焦點有關，常用圓錐曲線的定義中的幾何關系完成，又如點在圓或直線上，我們則常用平面幾何知識去審題。

(唐山市豐南區第一中學)