解析點面距的求法

求點到面的距離是立體幾何中最常見的問題，在高考中作為重要的知識點，幾乎每年必有。而且其他如線面距離、面面距離均可轉(zhuǎn)化為點面距離，因而學(xué)好這一內(nèi)容是立體幾何中重要的一環(huán)。下面就幾種常見的方法加以總結(jié)供同仁參考。

一、 定義法

直接由點向面作垂線，垂線段長度即為所求。

例:如圖1，四邊形ABCD為正方形，PA⊥面ABCD，AB=PA=a，求A到面PBD的距離。

解:連AC、BD交于O，則AC⊥BD，而PA⊥BD，則BD⊥面PAC，面PAC⊥面PBD，過A作PC垂線交于M則AM⊥面PBD。

即AM為所求，易知AC=a， Rt△PBC中由等面積法PA#8226; AC=AM#8226;PC

∴AM=a，即A到面PBD的距離為a

評析:若求點P到平面α的距離，先作過點P且垂直于α的平面β，在β內(nèi)過P作面α與β的交線的垂線，PM為所求。如圖2，這種模型要熟知，求垂線段長時一般放到三角形中求解。

二、 轉(zhuǎn)化相關(guān)點

當(dāng)用定義較難解時，可轉(zhuǎn)化到與已知點相關(guān)的點到已知面的距離，利用這兩點到同一平面距離的倍數(shù)關(guān)系求解。

例:如圖3，已知ABCD是邊長為4的正方形，E、F分別是AB、AD中點，GC垂直于ABCD所在平面，且GC=2，求B到面EFG的距離 。

解:易知EF∥BD，則BD∥面EFG，設(shè)AC交BD于O，故B到EFG距離等于O到面EFG距離。

容易證面MGC⊥面EFG。作OP⊥MG，則OP為所求，△GCM中可求OP=

另解:到面EFG距離是O到面EFG的3倍，可轉(zhuǎn)化成C到面EFG距離再乘以即可。

評析:注意轉(zhuǎn)化到相關(guān)點的距離后，還要還原到題目所求距離，防止因一時疏忽丟分。

三、 等體積法

將所點面距看成一個三棱錐的高，在該三棱錐中利用利用不同的底面積和高的乘積的倍相等(均為三棱錐體積)。從而可求距離。

例:四棱錐P-ABCD底面是邊長為a的正方形，側(cè)面PAD是正三角形且與底面ABCD垂直，求點C到面PBD距離。

解:作PE⊥AD則∠PEB=90°，PE=a，BE=a，PB=EA。故 PB=BD，則△PBD為等腰三角形。S△PBD 易求，而VP-BCD =VC-PBD

即 ×PE×S△BCD =×h×S△PBD

易解h=a為所求

評析:一般地，三棱錐中點所對底面面積較易求時，可用此法。不要丟掉棱錐體積公式中的，只需找到三棱錐，而不需作出距離，降低空間思維量。此法是較為常用的一種方法，計算要仔細。總之，涉及點面距問題，對具體題目采用以上三種方法中的一種問題可解，從而順利拿下高考中的5～6分。

(唐山市豐潤區(qū)第二中學(xué))