如何為“已知”與“未知”搭橋

新課標要求學生要學會自主探究、合作交流、實踐創新，以實現問題解決.然而在學習過程中經常遇到難題，即學生難以理解、無法解決的問題.所謂難以理解，即一個問題的已知條件和要證的結論難以溝通起來.因此快捷地實現“已知”與“未知”之間的搭橋是實現數學解題中化難為易的關鍵.

一.由“已知”看“可知”

【例1】已知:在△ABC中，∠B=2∠A，求證:b2=a2+ac.

圖1

分析:

結合圖形1，根據“已知∠B=2∠A”，可以構造12∠B

或2∠A，通過作∠B的平分線交AC于點M(如圖2)或以AB為一邊在三角形外作∠BAM交CB延長線于點M，構造等角(如圖3)，利用△CBM∽△CAB(如圖2)或△CAM∽△CBA(如圖3)得到比例式，即可得出“未知的b2=a2+ac”.

圖2圖3

拓展:如果將本題的“已知”與“未知”交換一下，改為“已知:在△ABC中，b2=a2+ac，求證:∠B=2∠A”.你是否也能采取此方法來分析解決?

感悟:本例說明由“已知”順藤摸瓜，步步深入可以通往“未知”.

二、由“未知”看“需知”

圖4

【例3】已知:實數a、b、c在數軸上對應點的位置如圖4.

化簡│a│+│a-b│+│c-b│-│a+b-c│.

分析:這個問題對初中的學生來講是一個難題，究其原因就是沒能徹底搞清題意.條件是以數軸形式給出，結論是含有絕對值的代數式化簡.如何將此“形”與“數”有機結合起來，是解決問題的關鍵.要將絕對值符號去掉，必須知道這個數的性質符號，即a、a-b、c-b、a+b-c這幾個代數式的性質符號，因此只要知道實數a、b、c的符號便可.

解:根據題意，得:a

則a<0，a-b<0，c-b>0，a+b-c<0，

所以│a│+│a-b│+│c-b│-│a+b-c│

=―a―(a-b)+(c-b)+(a+b-c)

=―a―a+b+c―b+a+b―c

=―a+b.

【例4】如圖5，點C為線段AB上一點.已知AB=5，AC=3，在線段AB的同側作等邊△ACM和△CBN，連結MB與CN相交于點P.求△NBP的面積.

分析:解此題，學生往往不知從何處入手.就△NBP本身而言，它是一個非特殊三角形，它的面積與已知條件AB=5，AC=3無直接聯系.然而如果考慮它是等邊△CBN的一部分，而等邊△CBN的面積可求，則只要求出NP∶CN便可解決問題.因此將本題分解為三個小問題:①求等邊△CBN面積;②證明△MCP∽△BNP;③求出NP∶CN.

圖5圖6

拓展:(1)如果此題是求△MCP的面積，你會做嗎?是否能采取此方法來解決?

(2)如果此題改為“如圖6，點C為線段AB上一點.已知AB=5，AC=3，在線段AB的同側作正方形ACMN和正方形CBPQ，連結BN與CP相交于點R.求△RBP的面積.”你是否也能采取此方法來分析解決?

感悟:以上幾例說明由“未知”追根求源，“層層剝皮”可以通往“已知”，實現“未知”與“已知”的牽手.

三、“已知”與“未知”互通有無

【例6】已知:2x2+y2-8x+6y+17=0，

求(x2y-4y3)÷(-y)+(x-2y)(-x-2y)+2(-y-x)2的值.

分析:由“已知”的條件可以轉化為:2(x-2)2+(y+3)2=0，得x=2，y=3.再將“未知”代數式計算得:4xy+10y2，最后將x=2，y=3代入4xy+10y2算出結果66.

感悟:如果“未知”與“已知”兩邊“夾”，也可以實現搭橋.

綜上所述，我們在解數學題時，要注意分析題意，通過由“已知”看“可知”，由“未知”看“需知”，或利用“已知”與“未知”兩邊“夾”實現“已知”與“未知”間的搭橋，達到化難為易的目的.

(責任編輯金鈴)