點到直線距離公式的簡捷證明及推廣應用

一、點到直線距離公式的證明

命題:點P(x0，y0)到直線L:Ax+By+C=0(A2+B2≠0)的距離為d，則d=|Ax0+By0+C|A2+B2.

證法一:(柯西不等式法)P(x0，y0)為定點，Q(x，y)為直線Ax+By+C=0(A2+B2≠0)上的動點，則A(x-x0)+B(y-y0)=-(Ax0+By0+C)，由柯西不等式Σ2i=1ai2Σ2i=1bi2

≥(Σ2i=1aibi)2得:

(A2+B2)|PQ|2=(A2+B2)[(x-x0)2+(y-y0)2]

≥[A(x-x0)+B(y-y0)]2

=(Ax0+By0+C)2.

|PQ|≥|Ax0+By0+C|A2+B2(當PQ⊥直線L時“=”成立).

證法二:設圓心為P(x0，y0)，半徑為r，圓的方程為(x-x0)2+(y-y0)2=r2，直線方程可寫為A(x-x0)+B(y-y0)=t(A2+B2≠0)，其中t=-(Ax0+By0+C).不妨設B≠0，

則y-y0=t-A(x-x0)B，代入圓的方程，化為

(A2+B2)(x-x0)2-2tA(x-x0)+t2-B2r2=0.

當Δ=4t2A2-4(A2+B2)(t2-B2r2)=0，即r2=t2A2+B2時，直線與圓相切，這時

d=r=|t|A2+B2=|Ax0+By0+C|A2+B2.

證法三:設Q(x，y)、Q1(x1，y1)是L上任意不同的兩點，則QQ1[TX→]=(x1-x，y1-y)，由于A，B不同時為零，記非零向量n=(A，B)，

則Ax+By+C=0，Ax1+By1+C=0.

∴A(x-x1)+B(y-y1)=0.

∴(A，B)·(x-x1，y-y1)=0，

可見n與L垂直.

又設QP[TX→]與n的夾角為θ，于是QP[TX→]·n=|QP[TX→]|·|n|·cosθ，則點P到L的距離d=|QP[TX→]|·|cosθ|=|QP[TX→]·n||n|

=|(x0-x，y0-y)·(A，B)|A2+B2

=|Ax0+By0-(Ax+By)|A2+B2

=|Ax0+By0+c|A2+B2.

二、應用點到直線距離公式解有關問題

1.證明等式

【例1】若a，b∈R且a1-b2+b1-a2=1，求證:a2+b2=1.

證明:顯然點P(a，b)是直線L:x1-b2+y1-a2=1

上的點，所以原點O到直線L的距離不大于|OP|，即

1(1-b2)+(1-a2)≤a2+b2.

整理得(a2+b2-1)2≤0，

故a2+b2=1.

2.證明不等式

【例2】實數x、y、z滿足x+y+z=a(a>0)，x2+y2+z2=a22.

證明:x，y，z∈[0，23a].

證明:顯然點P(x，y)是直線L:x+y+(z-a)=0的點，所以原點O到直線L的距離不大于|OP|，由點到直線距離公式得:

|0+0+(z-a)|1+1≤x2+y2，

即|0+0+(z-a)|1+1≤a22-z2，

化簡得z2≤23az，即0≤z≤23a.

同理，0≤x≤23a，0≤y≤23a.

3.求最值

【例3】已知f(μ)=μ2+aμ+(b-2)，其中μ=x+1x(x∈R，x≠0).若a，b是方程f(x)=0至少有一實根的實數，求a2+b2的最小值.

解析:∵μ=x+1x，∴|μ|≥2.

所以a，b是使μ2+aμ+b-2=0至少有一絕對值大于等于2的實根的實數，視μa+b+μ2-2=0為一直線L的方程，a2+b2的幾何意義為直線L的點(a，b)到坐標原點O距離的平方，因為點到直線的距離是該點與直線上的點之間的距離的最小值，

故a2+b2≥|μ2-2|μ2+1=μ2-2μ2+1，

μ2+1-3μ2+1≥5-35.

當μ2=4時，取到最小值，故

a2+b2≥(5-35)2=45，

從而(a2+b2)=45.

4.解方程(組)

【例4】解方程組x2+y2+z2=94，-8x+6y-24z=39.

解析:由兩個方程求出三個未知量，一般情況下是困難的.若發現點P(x，y)是直線L:-8x+6y-(39+24z)=0上的點，那么，原點O到直線L的距離不大于|OP|，由點到直線距離公式得:

|24z+39|82+62≤x2+y2，

即|24z+39|82+62≤94+z2.

整理得(13z+18)2≤0，即13z+18=0，故z=-1813.

同理可得:x=-613，y=926.

5.求值

【例5】已知α，β∈(0，π2)且cosα+cosβ-cos(α+β)=32，求α，β的值.

解析:將已知變形得:sinαsinβ+(1-cosα)cosβ+cosα-32=0，因此可知:點P(cosβ，sinβ)為直線L:(1-cosα)x+(sinα)y+cosα-32=0上的點，那么原點O到直線L的距離不大于|OP|=1，由點到直線距離公式得:

|cosα-32|sin2α+(1-cosα)2≤1.

化簡得:(cosα-12)2≤0，所以cosα=12，又因為α∈(0，π2)，所以α=π3，同理β=π3.

三、由點到直線距離公式的推廣

由點P到直線L的距離公式d=|Ax0+By0+C|A2+B2得出性質:

若x0，y0，A，B，C∈R，且Ax0+By0+C=0，則C2≤(x20+y20)(A2+B2).

證明:構造直線L:Ax+By+C=0，顯然點P(x0，y0)在直線L上，原點O到直線L的距離為d=|C|A2+B2，原點O與點P之間的距離為|PO|=x20+y20.

∵d≤|PO|，

∴|C|A2+B2≤x20+y20.

故C2≤(x20+y20)(A2+B2).

推論:若A，B，C∈R且A+B+C=0，則A2≤2(A2+B2).

(責任編輯金鈴)