導數(shù)在函數(shù)中的應用

摘要：導數(shù)是一個特殊函數(shù)，它的引出和定義始終貫穿著函數(shù)思想。新課程增加了導數(shù)的內容，隨著課改的不斷深入，導數(shù)知識考查的要求也在逐漸提高。因此，我們有必要加強這方面的研究與探討。

關鍵詞：導數(shù) 切線 單調性 極值 最值

隨著課改的不斷深入，導數(shù)知識考查的要求逐漸提高，近年很多省的高考題中都出現(xiàn)以函數(shù)為載體，通過研究其圖像性質，來考查學生的創(chuàng)新能力和探究能力的試題。新課程利用導數(shù)求曲線的切線，判斷或論證函數(shù)的單調性、函數(shù)的極值和最值。下面筆者結合教學實踐，就導數(shù)在函數(shù)中的應用作一個初步探究。

一、用導數(shù)求函數(shù)的切線

例1.已知曲線y=x3-3x2-1，過點(1，-3)作其切線，求切線方程。

解：y′=3x2-6x，當x=1時y′=-3，即所求切線的斜率為-3。故所求切線的方程為y+3=-3(x-1)，即為：y=-3x。

點評：函數(shù)y=f(x)在點x。處的導數(shù)的幾何意義，就是曲線y=f(x)在點p(x。，f﹙xo﹚)處的切線的斜率。即曲線y=f(x)在點p(x。，f﹙xo﹚)處的切線的斜率是f′(x。)，相應的切線方程為：y-f(xo)=f′(xo)(x-xo)。

二、用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性

例2.求函數(shù)y=x3-3x2-1的單調區(qū)間。

分析：求出導數(shù)y′，令y′>0或y′<0，解出x的取值范圍即可。

解：y′=3x2-6x，由y′>0，解得x<0或x>2；由y′<0，解得0

故所求單調增區(qū)間為(-∞，0)和(2，+∞)，單調減區(qū)間為(0，2)。

點評：利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性的步驟是：①確定f(x)的定義域；②求導數(shù)f′(x。)；③在函數(shù)f(x)的定義域內解不等式f′(x。)>0和f′(x。)<0；④確定f(x)的單調區(qū)間。若在函數(shù)式中含字母系數(shù)，往往要分類討論。

三、用導數(shù)求函數(shù)的極值