二次根式的教學與反思

二次根式的歷史地位至關重要，毋庸置疑.

翻開義務教育數學課本，二次根式也處于相當重要的地位，它是實數運算的基石，它使得實數的運算具有完備性，是人們研究擺鐘的周期問題、交通事故的責任認定等問題的重要工具，可以說，二次根式在現實生活中每個角落都能找到它的身影.

一、《數學課程標準》對“二次根式”的要求

(1)了解平方根、算術平方根的概念，會用根號表示數的平方根;

(2)了解開方與乘方互為逆運算，會用平方運算求某些非負數的平方根，會用計算器求平方根.

(3)了解二次根式的概念及其加、減、乘、除運算法則，會用它們進行有關實數的簡單四則運算(不要求分母有理化).

二、《中學數學教學大綱》(試用修改版)對《二次根式》的要求

(1)了解二次根式、最簡二次根式、同類二次根式的概念，會辨別最簡二次根式和同類二次根式.

(2)掌握積與商的方根的運算性質.

ab=a#8226;b(a≥0，b>0);ab=ab(a≥0，b>0)，會根據這兩個性質熟練地化簡二次根式(如無特殊說明，根號內所有的字母都表示正數，并且不需要討論).

(3)掌握二次根式(不含雙重根號)的加減、乘除的運算法則，會用它們進行運算.

(4)會將分母中含有一個二次根式的式子進行分母有理化.

(5)掌握二次根式的性質a2=|a|=a(a≥0)-a(a<0)

，會利用它化簡二次根式.

A.北師大教材

教材的處理較為寬松，比課標中的要求略低，只是在學習勾股定理后，為了介紹實數，引入平方根，算術平方根.在實數簡單運算中，類比整式加減法，介紹二次根式合并，課本沒有涉及平方根的化簡，在教師指導用書中明確指出:18可以不再化簡，僅有簡單的計算;

22+32=52;53-23=33;…

B.人教版教材

教材在七年級下學期教材第十章實數里介紹了平方根、算術平方根及簡單的實數運算.如53-23及18-12等.但在九年級上學期再一次安排了二次根式，課本引例是給出兩電視臺覆蓋半徑之比:2rh12rh2

=h2h1h2

.這意味著，要求同學們會用分母有理化計算簡單的二次根式.教材分三節介紹“二次根式”，分別是二次根式，二次根式乘除法、二次根式加減法.為了順利進行二次根式加減運算，教材介紹了最簡二次根式，要求計算結果化為最簡二次根式.

如18=1×28×2

=24;

x-yx+y=(x+y)(x-y)

x+y=x-y

教材雖然對“同類二次根式、分母有理化”等概念沒有給出明晰的定義，但時常出現在課本習題中，如二次根式加減運算、被開方數是分數的化簡計算等.

三、二次根式在教材中的地位

我們知道，二次根式乘除、加減運算是進一步完善實數運算的重要步驟.特別對于較為復雜的代數式的化簡，運用整式乘法的運算公式來化簡實數運算.形如

(x+y)2=x+y+2xy，(x+y)(x-y)=x-y

等內容.這為進一步提高學生運算能力，打下扎實的基礎.

其次，二次根式一章滲透了重要的數學思想，如結合數軸的數形結合思想;二次根式化簡時的分類討論思想、整體對稱性思想等.

四、二次根式教材設計反思

第一，實數的引入是歷史的必然結果，那么引入“二次根式”就成了數學發展的必需.從數學的發展角度看，二次根式不是附屬物，它的歷史作用戰功顯赫，但隨著社會的進步，時代的發展，特別是計算機數學的誕生，使許多結論可以通過計算機來完成.但不能說，二次根式的內容已經過時了.

第二，傳統的《中學數學教學大綱》對《二次根式》要求全面，從定義、運算以及利用運用性質進行化簡計算，都要求到位，特別提到分母有理化，難度較大.

第三，《數學課程標準》隨著新千年“減負”口號的提出，初中生每周數學課時只有六節，對傳統的“二次根式”概念作淡化處理，只要求學生掌握基本知識，不強調繁雜的四則運算.《課標》指出:二次根式的復雜計算可以借助計算器，但是在較長的時間內，中考又不允許使用計算器，這就導致考試中計算類似2+8+12型題目正確率很低，學生在進行較復雜的化簡計算中，不借助計算器就無法完成的窘境.而高中數學中復合函數的化簡計算、對數運算及直線和圓之間關系、圓錐曲線的化簡、解二元二次方程組等內容，學生若沒有過硬的運算能力，很難保證運算結果正確，這就導致高中教師普遍認為初中的數學教學質量下降，高中數學越來越難教的尷尬局面.

(責任編輯 易志毅)