芻議數學內隱素材資源的開發和運用

課程資源包含兩個層面，一是形成課程要素的來源，二是實施課程的一些直接或間接的條件.課程要素的來源包括知識、技能、經驗、活動方式、情感態度及價值觀等因素.數學內隱素材資源就是潛藏于數學知識深層的隱性知識，包括蘊含在結果性知識中的數學材料背景知識、數學邏輯知識和數學思想方法.也就是說，內隱素材資源反映了客體和主體兩個側面，業已存在的隱性知識表現為客體因素，學習者在學習過程中伴隨對知識的體驗則表現為主體因素.在教學中，為了更好地發揮學習者在學習過程中的主體性作用，就要善于開發和運用數學內隱素材資源.本文將結合等比數列前n項和公式的引入，談一談開發和運用數學內隱素材資源的策略.

一、對數學材料背景的開發與運用

1.直接借用已有的背景材料

“等比數列前n項和”這一節教材中是用古印度國際象棋的故事作為背景材料的.在教學時，我們如果直接用這個故事引入新課，這就形成了引入方案1.

方案1:

(用數學史料引入等比數列的前n項和)國際象棋起源于古代印度，關于國際象棋有這樣一個傳說，國王要獎賞國際象棋的發明者，對他說:我可以滿足你的任何要求.發明者說:請給我棋盤的64個方格上，第一格放1粒小麥，第二格放2粒，第三格放4粒，往后每一格都是前一格的兩倍，直至第64格.國王令宮廷數學家計算，結果出來后，國王大吃一驚.為什么呢?

提出問題:國王應該給發明者多少粒麥粒呢?你認為國王有能力滿足發明者的要求嗎?

2.開發新的背景材料

教材中的背景材料對于已經預習過教材的學習者來說已經沒有什么新鮮可言，此時的材料對于激發興趣而言意義已經不大，有時為了激起學習者的興趣或者更適合不同層次的學習者學習要求，可能需要我們開發新的背景材料來形成新的引入方案.

如果借助等比數列的實際應用問題可以形成下面的引入方案2.

方案2:

(用一個應用問題引入等比數列求和的概念)例如，某制糖廠今年制糖5萬噸，如果平均每年的產量比上一年增加10%，那么從今年起，幾年內可以使總產量達到30萬噸(保留到個位).

如果我們依托市場經濟背景，運用學生熟悉的人物編擬故事創造引入方案3，以趣引思，也可以激發學生的學習熱情.

方案3:

(漫畫演示)

話說豬八戒自西天取經回到了高老莊，從高員外手里接下了高老莊集團，搖身變成了CEO.可好景不長，便因資金周轉不靈而陷入了窘境，急需大量資金投入，于是就找孫悟空幫忙.悟空一口答應:“行!我每天投資100萬元，連續一個月(30天)，但是有一個條件是:作為回報，從投資的第一天起你必須返還給我1元，第二天返還2元，第三天返還4元……即后一天返還數為前一天的2倍.”八戒聽了，心里打起了小算盤:“第一天:支出1元，收入100萬;第二天:支出2元，收入100萬，第三天:支出4元，收入100萬元;……哇，發財了……”心里越想越美……再看看悟空的表情，心里又嘀咕了:“這猴子老是欺負我，會不會又在耍我?”

假如你是高老莊集團企劃部的高參，請你幫八戒分析一下，按照悟空的投資方式，30天后，八戒能吸納多少投資?又該返還給悟空多少錢?

只要我們多思考、多鉆研，就可以開發出適合自己學生的數學背景材料.

二、對數學邏輯知識的開發與運用

對數學邏輯知識的開發和運用有助于學習者的數學邏輯思維能力的培養，而要培養學習者的數學邏輯思維能力，就必須把學生組織到對所學數學內容的分析和綜合、比較和對照、抽象和概括、判斷和推理等思維的過程中來.因此，我們要善于為學習者提供合適的學習材料和學習條件，幫助學習者形成數學邏輯思維能力.

等比數列和等差數列有很多相似之處，我們可以由等差數列的有關性質引出等比數列的前n項和，于是形成了引入方案4.

方案4:

(1)復習等比數列的通項公式.同時讓學生回顧等差數列的通項公式及求和公式.

(2)與等差數列的性質類比，提出課題:等比數列的前項和.

注:此方案要求學生對等比數列和等差數列進行比較、對照.這是我們數學學習中常用的數學方法.我們要學會比較相似知識點的異同，找到不同知識點的聯系，從而使我們的知識結構形成一個邏輯體系.

三、對數學思想方法的開發與運用

本節課中滲透著類比、歸納、分類討論和錯位相減法思想.對這些思想的開發和運用可以形成好的教學方案.

如果把等差數列和等比數列求和公式的推導方法進行類比，然后從特殊歸納到一般可以得到方案5.

方案5:

(1)與等差數列前n項和公式的推導方法類比，對等比數列前n項和公式進行推導，發現這種方法無效.

(2)引導學生從特殊化入手去發現規律.

如果q=1，容易得到S1=na1;

如果q≠1，當n=2時，S2=a1+a2=a1+a1q=a1(1+q);

當n=3時，S3=a1+a2+a3=a1+a1q+a1q2=a1(1+q+q2)，

當n=4時，S4=a1+a2+a3+a4=a1+a1q+a1q2+a1q3=a1(1+q+q2+q3)，

至此似乎沒有使問題簡化，進一步觀察，可以發現:S2=a1(1+q)=a1(1-q2)1-q，S3=a1(1+q+q2)=a1(1-q3)1-q，S4=a1(1+q+q2+q3)=a1(1-q4)1-q，于是歸納猜想:Sn=a1(1-qn)1-q.

注:此方案中的特殊化歸納思想的實現需要教師的適時點撥，變形的時候用到了初中的因式分解的逆用思想，有一定的難度，如果沒有教師的提示可能大部分學生很難完成.

如果考慮等比數列求和公式的特點:分段函數，應該分兩種情況討論求和.于是得到方案6.

方案6:

(1)給出兩道等比數列求和習題(一道題目中的等比數列公比為1，另一個公比不為1)，讓學生思考解答.

(2)由上面兩道題的解答過程，歸納出等比數列前n項和的求法.

注:此方案要求學生由兩個題目的解題過程歸納出等比數列前n項和的求法，對學生的要求較高.

方案5和方案6都拋棄了有趣的故事背景，而是采用試誤法和歸納法引出課題.這些都是讓學生親自去操作、感知和體會.

數學內隱素材資源蘊涵于數學教學過程的各個方面，蘊涵于學習者和數學知識之中，蘊涵于數學學習方法和策略之中.總之，數學內隱素材資源是一種值得充分開發和利用的有效的數學資源.可以在引入階段開發和運用數學內隱素材資源，同樣也可以在新知識探究階段、新知識運用鞏固階段以及作業布置階段等進行開發和運用.課堂上的學習過程也好，課下的交流也好，處處都可以對數學內隱素材資源進行合理的開發和運用.

(責任編輯 金 鈴)