對抽象函數問題的解題思考

抽象函數是指沒有給出具體的函數解析式，只給出它的一些特征、性質或一些特殊關系式的函數，它是高中函數部分的一個難點，由于這類試題既能考查函數的有關概念，又能考查學生的抽象思維能力，所以在近幾年的高考中經常出現.同時，也由于這類試題概念抽象、條件隱蔽、技巧性強，因此，學生常常感到非常困難.下面結合本人的教學實際，就抽象函數的解題策略作一些探討.

一、尋找模型函數

抽象函數問題的設計與編擬，常以某個基本初等函數為模型，在解題前，可根據已知條件，找出抽象函數的“模型函數”，通過分析、研究其圖象或性質，找出問題的解法.例如:①對于正比例函數f(x)=kx(k≠0)，若令x=x1+x2，可以抽象為f(x+y)=f(x)+f(y);若令x=x1-x2，可以抽象為f(x-y)=f(x)-f(y).②對于冪函數f(x)=xn，若令x=x1#8226;x2，可以抽象為f(x#8226;y)=f(x)#8226;f(y);若令x=x1x2，可以抽象為f(xy)=f(x)f(y).③對于指數函數f(x)=ax(a>0且a≠1)，若令x=x1+x2，可以抽象為f(x+y)=f(x)#8226;f(y);若令x=x1-x2，可以抽象為f(x-y)=f(x)f(y).④對于對數函數f(x)=logax(a>0且a≠1)，若令x=x1#8226;x2，可以抽象為f(x#8226;y)=f(x)+f(y);若令x=x1x2，可以抽象為f(xy)=f(x)-f(y).⑤對于三角函數f(x)=tanx，若令x=x1+x2，可以抽象為f(x+y)=f(x)+f(y)1-f(x)f(y)

;若令x=x1-x2，可以抽象為f(x-y)=f(x)-f(y)1+f(x)f(y).

【例1】 定義在(0，+∞)上的函數f(x)滿足:

①f(xy)=f(x)+f(y);②f(3)=1;

③當0

求使f(x)+f(x-8)≤2成立的x的取值范圍.

分析:由題設①知f(x)以y=logax為模型函數，由題設③知f(x)在(0，+∞)為增函數.

解:∵f(3#8226;3)=f(3)+f(3)=2，∴原不等式化為f[x(x-8)]≤f(9).為解這不等式，要考慮f(x)的單調性.設0

∴f(x1)-f(x2)=f(x1x2)<0，

∴f(x1)

∴x>0，x-8>0，x(x-8)≤9，

∴x的取值范圍是(8，9].

注:通過x1=x1x2#8226;x2，解決了利用定義證明抽象函數的單調性的問題.

二、抓住奇偶定義

要確定函數的奇偶性，可根據定義，即先考察函數的定義域內的點是否關于原點O對稱，再研究f(-x)=-f(x)、f(-x)=f(x)或變式f(-x)+f(x)=0、f(-x)-f(x)=0是否恒成立.另外，要抓住奇偶函數的性質，例如:在公共定義域內，奇函數×奇函數=偶函數，偶函數×偶函數=偶函數，奇函數×偶函數=奇函數，等等.對于抽象函數還可以根據已知條件，通過恰當的賦值代換，尋求f(-x)與f(x)的關系.

【例2】 (2008，重慶)定義在R上的函數f(x)滿足:對任意x1，x2∈R，

有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1，

則下列說法一定正確的是().

A.f(x)為奇函數B.f(x)為偶函數

C.f(x)+4為奇函數D.f(x)+1為偶函數

解:令x1=x2=0，則f(0+0)=f(0)+f(0)+1，得f(0)=-1，令x2=-x1，

有f(0)=f(x1+x2)=f(x1)+f(-x1)+1，

即f(x1)+1=-f(-x1)-1，∴f(x)+1為奇函數，

選C.

注:通過賦值法，抽象出符合奇偶函數定義的式子.

三、靈活處理單調性

要確定函數的單調性，可根據定義，即在定義域內，設x1

【例3】 定義在R上的函數f(x)滿足:①f(x)>0;②f(xy)=f(x)+f(y);③f(1)=12;④當x<0時，f(x)>1.求使f(x)f(x2+x)≤18成立的x的取值范圍.

分析:解不等式時，要考慮f(x)的單調性，去掉“f”的符號，轉化為代數不等式求解.

解:由賦值法得f(2)=14，f(3)=18，

∴原不等式化為f(x+x2+x)

為解這不等式，要考慮f(x)的單調性.

設x11，

f(x1)=f[(x1-x2)+x2]=f(x1-x2)#8226;f(x2)，

f(x1)f(x2)=f(x1-x2)>1且f(x2)>0，

∴f(x1)>f(x2)，∴f(x)在R上為減函數，

∴原不等式化為x2+2x>3，

∴x的取值范圍是(-∞，-3)∪(1，+∞).

注:①賦值法;②發現18=f(3);

③通過x1=(x1-x2)+x2，解決了利用定義證明抽象函數的單調性的問題.

四、理解周期實質

抽象函數的周期性問題，具有一定的靈活性，要求熟悉定義、善于配湊變換.同時，掌握一些基本的周期結論是非常必要的，例如:

①若f(x+a)=f(x+b)，則f(x)的周期為|b-a|;②若f(x+a)=-f(x+b)，則f(x)的周期為2|b-a|;若f(a-x)=f(a+x)且f(b-x)=f(b+x)，則f(x)的周期為2|b-a|;③若f(x+a)=-f(x)、f(x+a)=1f(x)、f(x+a)=-1f(x)、f(x+a)=f(x)+1f(x)-1、f(x+a)=1-f(x)1+f(x)、f(x+a)=f(x-a)等，則f(x)的周期為2|a|.

【例4】 已知f(x)是定義在R上的函數，滿足f(x)[f(x+2)+1]=f(x+2)-1，f(2)=2，

求f(2010)的值.

解:原式變形為f(x+2)=1+f(x)1-f(x)，將x換成x+2，得

f(x+4)=1+f(x+2)1-f(x+2)=

1+1+f(x)1-f(x)

1-1+f(x)1-f(x)

=-1f(x)

，再將x換成x+4，得f(x+8)=-1f(x+4)=f(x)，即f(x+8)=f(x)，∴T=8，

∴f(2010)=f(251×8+2)=f(2)=2.

注:此題由題設啟發先將x換成x+2，再將x換成x+4.善于從結構中尋求替換是解答抽象函數的周期性問題的有效方法.

五、拓展對稱內涵

它屬于以函數圖象為背景的問題，必須注意對稱性的一些結論:①若函數f(x)滿足f(a+x)=f(b-x)，則f(x)的圖象關于直線x=a+b2對稱;特別地，若函數f(x)滿足f(a+x)=f(a-x)或f(x)=f(2a-x)，則f(x)的圖象關于直線x=a對稱;②若f(a+x)=-f(b-x)，則f(x)的圖象以(a+b2，0)為對稱中心;③函數y=f(x-a)與函數y=f(a-x)的圖象關于直線x=a對稱;④函數y=f(x)與函數y=f-1(x)的圖象關于直線y=x對稱.

【例5】 若對于實數x，函數f(x)都滿足f(-x)+f(2+x)+4=0，則f(x)的圖象關于().

A.直線x=2對稱 B.直線x=4對稱

C.點(1，-2)對稱D.點(-1，2)對稱

解:在f(-x)+f(2+x)+4=0中，用x-1代換x，則f(1-x)+f(1+x)+4=0，

化為f(1-x)+2=-[f(1+x)+2].把上式看成進行兩次圖象變換:①f(1-x)=-f(1+x)，圖象關于點(1，0)對稱;②f(1-x)+2=-[f(1+x)+2]，圖象關于點(1，-2)對稱，∴選C.

注:抽象函數問題的思考必須創設與命題相關的、盡可能多的、真實的情景.

六、綜合考查性質(奇偶性、單調性、周期性、對稱性)

高考題中往往同時涉及多項概念和性質，并綜合考查抽象函數的奇偶性、單調性、周期性、對稱性等，這時不僅要注重概念和性質的準確運用，也要充分運用化歸的數學思想和數形結合的思想來解答問題.

【例6】 (2009，山東)已知定義在R上的奇函數f(x)，滿足f(x-4)=-f(x)，且在區間[0，2]上是增函數，若方程f(x)=m(m>0)在區間[-8，8]上有四個不同的根x1，x2，x3，x4，

則x1+x2+x3+x4= .

解:因為f(x)是定義在R上的奇函數，滿足f(x-4)=-f(x)，所以f(x-4)=f(-x).函數圖象關于直線x=-2對稱且f(0)=0，又由f[(x-4)-4]=-f(x-4)=f(x)，所以函數的周期為8，又因為f(x)在區間[0，2]上是增函數，所以f(x)在區間[-2，0]上也是增函數.據此可構造符合題意的圖形，如下圖所示.那么方程f(x)=m(m>0)在區間[-8，8]上有四個不同的根x1，x2，x3，x4，不妨設x1

注:本題綜合考查了函數的奇偶性、單調性、對稱性、周期性以及由函數圖象解答方程問題，運用數形結合的思想和函數與方程的思想解答問題.

參考文獻

[1]陳茂慧.抽象函數的“四步法”教學[J].中學教研(數學)，2003(9).

[2]樓肇慶.函數“四性問題”備考與探究[J].中學教研(數學)，2010(2).

(責任編輯 金 鈴)