三角函數平移變換問題的簡易判定

三角函數中的正弦、余弦在水平方向上的平移變換、涉及伸縮的平移變換問題是高考命題的熱點之一，它主要以選擇題的形式出現，為此本文將介紹能迅速、準確做出斷定的簡易方法.

先來看問題:y=Asin(ωx+φ)的圖象可由y=Asin(ωx+θ)(A>0，ω>0)的圖象作怎樣的變換得到?

易知y=Asin(ωx+θ)的圖象上所有的點都向左(φ-θω>0)或向右(φ-θω<0)平移|θω-φω|個長度單位得到y=Asin(ω(x+φ-θω)+θ)，即y=Asin(ωx+φ)的圖象.而|-φω-(-θω)|中的-θω、-φω可分別看作令y=Asin(ωx+θ)和y=Asin(ωx+φ)中“角”的位置的代數式值為0所求得的x的值.顯然點(-φω，0)是所得圖象上與原來圖象上的點(-θω，0)對應，(-θω，0)是被移動的點(本文約定被移動的點為“起”)，而(-φω，0)是所得的點(本文約定移動得到的點為“終”)，要從點(-θω，0)到點(-φω，0)，得沿x軸平移|-φω-(-θω)|個長度單位.其余各對對應點也如此.

由此，我們得到三角函數平移變換問題的第一種類型及其簡易判定方法:

類型一、兩個都是“弦”，且振幅相同、變量系數相同的同名函數間的平移變換問題.

簡易判定方法:在判斷y=Asin(ωx+φ)是由y=Asin(ωx+θ)(A>0，ω>0)經過怎樣的變換得到時(余弦的亦然)，令ωx+θ=0x=-θω(起)，且令ωx+φ=0x=-φω(終).為直觀起見，可在x軸上標出這兩個點(注:要明確“起”和“終”)，平移方向是由“起”指向“終”，平移的長度單位個數是|-φω-(-θω)|.

【例1】 函數y=sin(2x-π6)的圖象可由函數y=sin(2x+π3)的圖象作怎樣的變換得到?

圖1

解:令2x+π3=0，得x=-π6(起)，令2x-π6=0，得x=π12(終)，顯然y=sin(2x-π6)

的圖象可由y=sin(2x+π3)的圖象向右平移|π12-(-π6)|=π4個單位得到.

我們再來看可轉化為類型一的以下兩種類型:

類型二、兩個都是“弦”，且振幅相同、變量系數相同的異名函數間的平移變換問題.

(此時只要用公式sinα=cos(π2-α)化為同名的，即轉化為類型一的問題.)

【例2】 為了得到函數y=cos(2x+π3)的圖象，只需將函數y=sin2x的圖象做怎樣的變換?

解:y=sin2x=cos(π2-2x)=cos(2x-π2)，令2x-π2=0，得x=π4(起)，

令2x+π3=0，得x=-π6(終)，顯然向左平移|π4-(-π6)|=5π12個長度單位即可.

類型三、兩個都是“弦”，且振幅相同、變量系數不相同的異名函數間的平移變換問題.

(此時先用公式sinα=cos(π2-α)將函數化為同名函數，再通過伸縮變換，轉化為類型一的問題.)

【例3】 要得到函數y=2cosx的圖象，只需將函數y=2sin(2x+π4)的圖象作怎樣的變換?

解:y=2sin(2x+π4)=2cos(π2-2x-π4)=2cos(2x-π4)，將這函數圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)，得y=2cos(x-π4)，令x-π4=0，得x=π4(起)，令y=2cosx中的“角”為零得x=0(終)，顯然向左平移|π4-0|=π4個長度單位即可.

注:在將異名(都是“弦”)函數轉化為同名函數時，可將被變換的函數名轉化，也可將得到的函數名轉化;當周期不同時，必化為相同后(轉化被變換的)才能找“起”和“終”.

(責任編輯 金 鈴)