例析轉化思想在數學解題中的應用

著名的數學家，莫斯科大學教授C.A.雅潔卡婭曾在一次向數學奧林匹克參賽者發表《什么叫解題》的演講時提出:“解題就是把要解的題轉化為已經解過的題.”數學的解題過程，就是從未知向已知、從復雜到簡單的化歸轉換過程.轉化的方法有很多，這里通過例題，談幾種常見轉化.

一、正向向逆向轉化

一個命題的題設和結論是因果關系的辯證統一，解題時，如果從正面入手思維受阻，不妨從它的反面出發，逆向思維，往往會另有捷徑.

【例1】 四面體的頂點和各棱中點共10個點，在其中取4個不共面的點，不共面的取法共有 種.

A.150B.147C.144D.141

分析:本題正面入手，情況復雜，若從反面去考慮，先求四點共面的取法總數再用補集思想，就簡單多了.

解:10個點中任取4個點取法有C410種，其中面ABC內的6個點中任取4點都共面有C46種，同理其余3個面內也有C46種，又每條棱與相對棱中點共面也有6種，各棱中點4點共面的有3種，∴不共面取法有N=C410-4C46-6-3=141種.選D.

二、一般向特殊轉化

有的數學問題所要求的結論，在一般情況下不容易推出，但在特殊情況下卻非常易于處理.因而當我們處理問題時，若能注意到問題的特殊性，進而考慮把待解決的問題轉化為特例，最后借此解決問題.

【例2】 證明sinx不是周期函數.

分析:設sinx是周期函數.考察它的一個特殊值——零點，則零點也應該周期性地出現.f(x)=sinx的零點是x=k2π2(k∈Z)，隨著|k|的增大，k2則更快增大，f(x)的零點分布越來越疏，這就導致了矛盾——f(x)=sinx的零點不是周期出現的.所以由此可證得原命題成立.

三、等價轉化

【例3】 設x，y∈R且3x2+2y2=6x，求x2+y2的取值范圍.

分析:設k=x2+y2，再代入消去y，轉化為關于x的方程有實數解時求參數k范圍的問題.

由6x-3x2=2y2≥0得0≤x≤2.

將k=x2+y2變為y2=k-x2代入已知等式得x2-6x+2k=0，即k=-12x2+3x，其對稱軸為x=3.又因為0≤x≤2，得k∈[0，4]，所以x2+y2的范圍是0≤x2+y2≤4.

四、整體與局部的相互轉化

整體是由局部組成的，研究某些整體問題可以從局部開始.

【例4】 設x1，x2，x3，…，x10都是整數，證明:

x21x2+x22x3+…+x29x10+x210x1≥x1+x2+…+x10.

分析:這是一個多元不等式，從整體上考慮，很難入手，可以先考慮局部:x21x2+x2≥2x21x2#8226;x2=2x，…，以此類推，可得出結論.

解:∵x21x2+x2≥2x21x2#8226;x2=2x1，x22x3+x3≥2x2，…，x210x1+x1≥2x1，

∴將以上各式相加即得:x21x2+x22x3+…+x29x10+x210x1≥x1+x2+…+x10.

本題在分析解題思路時，如果缺乏整體與局部相互轉化的意識，而直接入手，就會導致思維受阻.因此，掌握了這種思維方法，就可以把一個復雜的問題轉化為一個或幾個簡單的問題.

五、數形轉化法

數形轉化是指將問題中的數量關系(解析式)與空間形式(圖形)關系，通過互相變換獲得解題途徑.

【例5】 解方程||3x-4|-|3x-8||=2.

分析:常規的解題思路是方程兩邊平方，但運算很繁瑣.切換思維視角，若將原方程變形為||x-43|-|x-83||=23，發現此式結構酷似雙曲線方程，于是在相似、類比的啟迪下，我們可以構造雙曲線方程求解.上式等價于|(x-43)2+y2-(x-83)2+y2|=23

(其中y=0)，從而易知a=13，c=23，b=33，

雙曲線方程為9(x-2)2-3y2=1.令y=0，得x=53或x=73為方程的解.

本文僅從幾個大的方面對轉化思想的應用進行簡單歸納，教師在平時的教學中要善于引導和鼓勵學生在學習上和生活中經常運用轉化思想，因為學習上，善于運用轉化思想的同學，能解決更多的數學問題，生活中，善于運用轉化思想的同學，將變得越來越聰明，越來越富有創造性，也許能成為未來的發明家，這正是我們每位教育工作者所期待的東西，正是教育的歸宿，教育的目的.

(責任編輯 金 鈴)