對一道高考數列問題的解法探討

由遞推公式求數列的通項公式是數列中的常見題型，這類數列通常可轉化為an+1+λ=p(an+λ)，或消去常數轉化為二階遞推式an+2-an+1=q(an+1-an)，或迭加、歸納、猜想證明.本文就2009年高考全國卷的一道數列題目談此類題型的幾種求解策略，供參考.

(2009，全國卷(Ⅱ)，理)設數列{an}的前n項和為Sn，已知a1=1，Sn+1=4an+2.

(Ⅰ)設bn=an+1-2an，證明數列{bn}是等比數列;

(Ⅱ)求數列{an}的通項公式.

解:(Ⅰ)由a1=1及Sn+1=4an+2，有S2=4a1+2，即a1+a2=4a1+2.

Sn+1=4an+2，①

則當n≥2時，有Sn=4an-1+2.②

由②-①得an+1=4an-4an-1，

∴an+1-2an=2(an-2an-1)，

又∵bn=an+1-2an，

∴bn=2bn-1.

∴{bn}是首項b1=3，公比為2的等比數列.

(Ⅱ)由(Ⅰ)可得bn=an+1-2an=3#8226;2n-1，即an+1-2an=3#8226;2n-1，這個遞推公式明顯是一個構造新數列的模型:an+1=pan+r#8226;qn(p，q為常數)，主要的處理方法有以下幾種:

分析1:將3#8226;2n-1化為常數.

解法1:將an+1-2an=3#8226;2n-1兩邊同除以2n+1，得an+12n+1

-an2n=34.

數列{an2n}是首項為12，公差為34的等差數列，

則an2n=12+(n-1)34=34n-14，

∴an=(3n-1)#8226;2n-2.

分析2:將3#8226;2n-1拆分成兩部分，分配給an+1與an，構造新數列{an+1+x#8226;(n+1)#8226;2n+1}，由待定系數法確定常數x的值.

解法2:設an+1+x#8226;(n+1)#8226;2n+1=2(an+x#8226;n#8226;2n)

，化簡得an+1=2an-x#8226;2n+1，又因為an+1-2an=3#8226;2n-1，則-x#8226;2n+1=3#8226;2n-1，解得x=-34.

∴an+1-34#8226;(n+1)#8226;2n+1=2(an-34#8226;n#8226;2n)

，∴數列{an-34#8226;n#8226;2n}是以a1-34#8226;1#8226;21=-12

為首項，2為公比的等比數列.∴an-34#8226;n#8226;2n=(-12)#8226;2n-1.

即an=(3n-1)#8226;2n-2.

分析3:迭代法.

解法3:∵an+1=2an+3#8226;2n-1，∴an=2an-1+3#8226;2n-2=2(2an-2+3#8226;2n-3)+3#8226;2n-2

=22an-2+2#8226;3#8226;2n-2=22(2an-3+3#8226;2n-4)+2#8226;3#8226;2n-2=23#8226;an-3+3#8226;3#8226;2n-2=…

=2n-1#8226;a1+(n-1)#8226;3#8226;2n-2=2n-1#8226;1+(3n-3)#8226;2n-2=(3n-1)#8226;2n-2.

分析4:迭加法.

解法4:∵an+1-2an=3#8226;2n-1，∴an=2an-1+3#8226;2n-2.

∴an=(an-2an-1)+2(an-1-2an-2)+22(an-2-2an-3)+…+2n-2(a2-2a1)+2n-1a1

=3#8226;2n-2+2#8226;3#8226;2n-3+22#8226;3#8226;2n-4…2n-2#8226;3#8226;20+2n-1=(3n-3)#8226;2n-2+2n-1

，

an=(3n-1)#8226;2n-2.

分析5:數學歸納法.將本題中的“求數列{an}的通項公式”改為“證明數列{an}的通項公式為an=(3n-1)#8226;2n-2”.

解法5:(證明)(1)當n=1時，a1=(3#8226;1-1)#8226;21-2=1，結論成立.

(2)假設當n=k時，ak=(3k-1)#8226;2k-2.

那么當n=k+1時，

ak+1=2ak+3#8226;2k-1=2(3k-1)#8226;2k-2+3#8226;2k-1=(3k+2)#8226;2k-1.

所以當n=k+1時，結論也成立.

由(1)(2)可知，通項公式an=(3n-1)#8226;2n-2對任意n∈N*都成立.

上述遞推公式an+1=pan+r#8226;qn(p，q為常數)，由于上述例題p與q相等，比較特殊，如果p與q不相等，則除了用上述方法解之外，還可以通過消去r#8226;qn的方法求解.

[變題]已知數列{an}中，a1=1，且an+1=5an+3#8226;2n-1，求數列的通項公式.

分析6:由

an+1=5an+3#8226;2n-1，an=5an-1+3#8226;2n-2(n≥2)

消去3#8226;2n-1生成新的等比數列.

解法6:由題意，

an+1=5an+3#8226;2n-1，①an=5an-1+3#8226;2n-2(n≥2).②

①-②×2，得an+1-2an=5(an-2an-1)，n≥2.

∴數列{an+1-2an}是以a2-2a1=6為首項，5為公比的等比數列.

∴an+1-2an=6#8226;5n-1.③

將①式代入③式，整理得an=2#8226;5n-1-2n-1.

(責任編輯 金 鈴)