巧用數形結合解難題

數形結合，實質是將抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來，使抽象思維和形象思維結合起來，通過“以形助數”或“以數解形”，發揮直觀對抽象的支柱作用，實現抽象概念與具體形象、表象的聯系和轉化，化難為易，化抽象為直觀，從而起到優化解題途徑的目的.數形結合在解題過程中應用十分廣泛，巧妙運用數形結合的數學思想方法來解決一些抽象數學問題，可起到事半功倍的效果.運用數形結合思想解題，不僅易于尋找解題途徑，而且能避免繁雜的計算和推理，簡化解題過程，在選擇、填空中更顯其優勢.下面通過舉例來說明數形結合思想在解題中的重要性.

一、數形結合在解不等式中的應用

【例1】 若x∈(1，2)時，不等式(x-1)2<logax恒成立，求a的取值范圍.

分析:令y1=(x-1)2，y2=logax，在同一坐標系內畫出這兩個函數的圖像.

若a>1，兩函數圖象如圖1-1所示，顯然當x∈(1，2)時，

要使y1

當1

若0ogax恒不成立.

可見a∈(1，2].

圖1-1 圖1-2

【例2】 設f(x)=x2-2ax+2，當x∈[-1，+∞)時，f(x)>a恒成立，求a的取值范圍.

分析:由f(x)>a在[-1，+∞)上恒成立得

x2-2ax+2-a>0在[-1，+∞)上恒成立.

考查函數g(x)=x2-2ax+2-a的圖象在[-1，+∞)時位于x軸上方(如圖2-1、2-2).

不等式的成立條件是:

(1)Δ=4a2-4(2-a)<0a∈(-2，1).

(2)Δ≥0，a<-1，g(-1)>0

a∈(-3，-2].

綜上所述，a∈(-3，1).

圖2-1 圖2-2

二、數形結合在函數解題中的應用

圖3

【例3】 如果實數x、y滿足等式(x-2)2+y2=3，求xy的最大值.

分析:等式(x-2)2+y2=3有明顯的幾何意義，它表示以(2，0)為圓心，r=3為半徑的圓(如圖3).

而yx=y-0x-0則表示圓上的點(x，y)與坐標原點(0，0)的連線的斜率.

如此一來，該問題可轉化為幾何問題:

動點A在以(2，0)為圓心，以3為半徑的圓上移動，求直線OA的斜率的最大值.由圖3可見，當點A在第一象限，且與圓相切時，OA的斜率最大，經簡單計算，得最大值為tan60°=3.

所以最大值是3.

三、數形結合在三角函數解題中的應用

【例4】 試求方程sin(x-π4)=14x的實數解的個數.

分析:在同一坐標系內作出y1=sin(x-π4)與y2=14x的圖象(如圖4).

圖4

由圖可知實數解有3個.

四、數形結合在復數解題中的應用

【例5】 已知復數Z滿足|Z|=2，求|Z-i|的最值.

分析:該題解法很多，既可以由模的定義轉化為三角函數的最值，也可以由||Z1|-|Z2||≤|Z1+Z2|≤|Z1|+|Z2|進行放縮，但要么運算過于繁瑣，要么取等號時條件驗證較困難，各有利弊，但仔細審題，可將模的條件視為距離，結合“(1)|Z-Z0|=a表示Z所對應點軌跡是以Z0所對應點為圓心，以a為半徑的圓;(2)|Z-Z0|表示Z所對應點到Z0所對應點間的距離”.

圖5

解:由|Z|=2知復數Z所對應復平面上點軌跡是以原點為圓心，以2為半徑的圓.而|Z-i|是求Z所對應點到P(0，1)點間的距離.(如圖5所示)

顯然有:|Z-i|min=|PA|=1;

|Z-i|max=|PB|=3.

故復數|Z-i|最大值是3，最小值是1

以上舉例中不難發現，如果不用數形結合的思想，一些題的解答過程是很繁瑣的，甚至有些題根本就無從下手.因此正確應用和掌握數形結合的思想我們就能做到大題小作.需要強調的是，在應用數形結合解題時要注意數與形轉化的等價性，將復雜的問題轉化成簡單、熟知的數學問題，轉化前后的問題應是等價的;利用“數”的精確性和“形”的全面性，才能得出正確結論.有些問題所對應的圖形不唯一，要根據不同的情況畫出相應的正確圖形后，再進行討論求解.

(責任編輯 金 鈴)