數與形結合的幾種解題方法

“數形結合法”是數學中一種非常常用的解題方法，很多代數中的問題通過數形結合將其轉化成幾何問題去解決往往更為直觀、簡便.同時，教師在教學過程中通過“數”與“形”的結合能拓寬學生的視野，加強知識的聯系，促進學生知識的系統化.

在具體問題中如何進行“數”與“形”的結合呢?這是數形結合法最關鍵的問題.下面將介紹幾種較易與“形”結合的代數問題以及它們與“形”結合的方法.

一、函數問題

每個函數都對應著一個圖象，函數很多性質都能在圖象中反映出來，因而函數的很多問題都可利用圖象將其直觀化，下面通過兩個例子說明.

圖1

【例1】 已知函數f(x)=-x2+2x+3，x∈[-1，m]，如果它的值域為

[0，4]，求m的取值范圍.

解:作出函數的圖象(如圖1)，由圖可看出:

∵f(-1)=f(3)=0，f(1)=4，

∴當x∈[-1，m]時，要使值域為[0，4]，

只要1≤m≤3即可.

【例2】 求函數y=∣x2-x-6∣的單調區間.

圖2

解:作出該函數的圖象(如圖2)，由圖即可看出它的減區間為:(-∞，-2]，[12，3).增區間為:[-2，12]，[3，+∞).

二、一元方程的實根問題

一般地，一元方程的實根在幾何中對應的“形”是函數

圖象交點的橫坐標.具體地，形如f(x)=0的方程實根的

幾何意義就是函數y=f(x)的圖象與x軸交點的橫坐標;形如f(x)=g(x)的方程的實根就是函數y=f(x)與y=g(x)圖象交點的橫坐標.對于這類方程的實根問題，如果實根不易解出，則可利用其幾何意義進行解決，下面舉例說明.

【例3】 設函數y=f(x)滿足f(x+2)=f(x)，當-1≤x≤1時，y=x2.試確定方程f(x)=log7x的實根個數.

圖3

解:方程f(x)=log7x的實根個數即是函數y=f(x)

與y=log7x圖象交點的個數，利用函數y=f(x)

的周期為2可作出其圖象，再作y=log7x的圖象(如圖3).

∵∣f(x)∣≤1，log77=1，當x>7時，log7x>1，∴兩圖象在x>7時無交點.由圖可看出

有6個交點，所以方程有6個實根.

【例4】 若方程x2=logax(a>0且a≠1)的實根在(0，12)內，求a的取值范圍.

圖4

解:方程x2=logax(a>0且a≠1)的實根在(0，12)內，

即函數y=x2與y=logax的圖象交點在(0，12)內，當a>1時，

兩圖象在(0，12)內無交點.當0

要交點在(0，12)內，只要(12)2>loga12即可，由此可解出0

三、代數式的取值問題

我們在解析幾何中知道，二元方程對應的“形”是直角坐標系中的曲線，而某些代數式，我們也可以找到某種幾何中的量(如斜率，距離等)與之對應，從而可得出它的幾何意義.這樣，關于代數式的取值問題就可以轉化成幾何中的某個量的取值問題了.

【例5】 求函數y=x2+2x+5-x2-4x+5的最大值.

圖5

解:函數式可化為y=(x+1)2+4-(x-2)2+1.它的幾何

意義即是x軸上的動點M(x，0)分別到定點A(-1，2)和

B(2，1)的距離之差(如圖5).

連結A、B并延長交x軸于點P，顯然x軸上點P到A、B

距離之差最大且等于∣AB∣.∴y的最大值為∣AB∣=(2+1)2+(1-2)2=10.

【例6】 已知實數x，y滿足x2+y2-4x+3=0，求y+2x-2的取值范圍.

圖6

解:在條件x2+y2-4x+3=0下，代數式y+2x-2的幾何意義即是圓C:x2+y2-4x+3=0上的點M(x，y)與定點P(2，-2)連線PM的斜率k(如圖6).過

P作圓C的切線l，設其點斜式方程為y+2=k(x-2)，由圓心C(2，0)

到l的距離等于半徑1得:∣2k-0-2k-2∣k2+1=1，解出k1=3，

k2=-3.

由圖可看出，連線PM的斜率k的取值范圍是k≤-3，或k≥3，從而y+2x-2≤-3或y+2x-2≥3.

四、條件中含不等式的問題

代數中的二元不等式在幾何中對應的“形”就是直角坐標系中的某個區域.因此，代數中滿足不等式的實數對x，y即是該區域內的點.

【例7】 設x，y∈R，且x2+y2-25≤0，求方程x-y-1=0的整數解.

圖7

解:根據x2+y2-25≤0的幾何意義，在條件x2+y2-25≤0下

方程x-y-1=0的整數解即是坐標系中直線x-y-1=0上位于圓

x2+y2-25=0內或圓周上的坐標為整數的點.

根據如圖7，

不難找出這些點共有8個:(-3，-4);(-2，-3);(-1，-2);

(0，-1);(1，0);(2，1);(3，2);(4，3).這即是所求方程的整數解.

【例8】 設實數x，y滿足x2+y2-4x-6y+12≤0時，3y-4x-a+2≥0恒成立，求實數a的取值范圍.

圖8

解:不等式x2+y2-4x-6y+12≤0和3y-4x-a+2≥0在解析幾何

中所對應的“形”分別是圓C:x2+y2-4x-6y+12=0內部

及圓周和直線3y-4x-a+2=0的上側區域(如圖8).

∴當實數x，y滿足x2+y2-4x-6y+12≤0時，

要3y-4x-a+2≥0恒成立，只要圓x2+y2-4x-6y+12=0全部在區域3y-4x-a+2≥0

內即可.

所以|3×3-4×2-a+2|32+42≥1且3×3-4×2-a+2≥0，由此解出a的取值范圍為:a≤-2.

五、導數問題

我們知道函數y=f(x)在點P(x0，y0)處的y=f′(x0)導數的幾何意義是函數的圖象以P為切點的切線斜率.因此在導數問題中常把它轉化成切線問題去考慮.

【例9】 已知實數x，y滿足:3x2+4y2=48，且3x+2y>12.

求導函數y=f′(x)的值域.

圖9

解:∵實數x，y滿足:3x2+4y2=48，且3x+2y>12，

則函數y=f(x)的圖象就是橢圓3x2+4y2=48

位于直線3x+2y=12上方的這段曲線L(如圖9).

因此其導函數y=f′(x)的值域即是這段曲線L的

切線斜率的取值范圍.

易求出直線3x+2y=12與

橢圓3x2+4y2=48的兩交點為A(4，0)和B(2，3)，

橢圓3x2+4y2=48在A點處的切線l1與x軸垂直，在點B(2，3)處的切線l2的方程為:x+2y-8=0，l2的斜率為-12，由圖9易知，橢圓上AB之間這段曲線L的切線斜率K的取值范圍為K<-12.∴導函數y=f′(x)的值域為(-∞，-12).

(責任編輯 金 鈴)