石化權證在GARCH模型下的實證檢驗

摘要:股票價格的波動率特征是股票衍生品價格的決定性因素。Black Scholes假設股票價格服從幾何布朗運動，其重要的假設條件是波動率為一個常數。但是，越來越多的實證研究結果表明，股票收益率存在顯著的尖峰厚尾現象，其波動率存在明顯的時變性特征。因此，放寬波動率恒定條件，并且研究股票波動率的變動特征，對認購權證的正確定價具有重要意義。

關鍵詞:權證定價;B-S模型;GARCH模型

中圖分類號:F83 文獻標志碼:A文章編號:1673-291X(2010)08-0130-04

經典金融理論都是基于新古典經濟學的效用最大化的理性人假設之上的。具體表現在資產收益率上，即它們都具有一個共同的假設:收益率序列獨立同分布，標準差服從正態分布。Black-Scholes期權定價公式，就是以此為基礎的。然而，大量的實證研究發現，實際金融市場上大部分金融變量的標準差與服從正態分布的假設相去甚遠，而且收益率序列也并沒有表現出獨立同分布的特征。

本文首先根據樣本股票期權標的股票的日收盤數據計算出標的股票的日收益率序列，根據標的股票日收益率序列估計GARCH模型的參數，然后應用GARCH模型對標的股票日收益波動率進行預測，并將收益波動率的值代入Black-Scholes公式，從而對股票期權進行定價。

一、Black-Scholes期權定價模型

Black-Scholes期權定價模型的假設條件是:(1)股票的價格S遵循幾何Brown運動，dS=μSdt+σSdz，其中，μ是股票的期望回報率，σ是股票的標準差，即股票價格的波動率，dz是一個廣義維納過程。(2)無風險利率r是常數。(3)股票不支付股息。(4)不支付交易費用和稅收。(5)不存在套利機會。求解得到歐式看漲期權的精確定價公式:

C=SN(d1)-Xe-r(T-t)N(d2)

其中，d1=■

d2=■=d1-σ■

N(.)是均值為0方差為1的標準正態分布變量的累積概率分布函數。

二、GARCH模型(Generalized ARCH)

1986年， Bollerslve提出了更一般性的ARCH模型(Generalized ARCH)，即廣義自回歸條件異方差GARCH(Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedasticity)模型。其中，異方差指方差隨時間變化而變化，即具有易變性;條件性表示了對過去臨近觀測信息的依賴;自回歸則描述了預測值與過去觀測之間的聯系。它在對時間序列波動性的解釋和建模上具有較強的優勢，因而有著極其廣泛的理論和實用價值。

GARCH(p，q)模型的一般形式為:

ut=■·vt

其中，vt為i.i.d序列，且E(vt)=0，var(vt)=1，若有

ht=α0+■α■u■2+ ■β■h■=α0+α(L)u■2+β(L)h■

p，q≥0，α0>0，αi≥0(i=1，2，……，p)，βi≥0(j=1，2，……，q)

則稱ut服從GARCH過程，記作ut□GARCH(p，q)。

■β■h■為自回歸項，■α■u■2為ARCH項。

GARCH(p，q)模型中用得最多的是GARCH(1，1)模型。此后，在GARCH的基礎上，又相繼發展了IGARCH、EGARCH、GARCH-M等推廣形式。

三、實證過程

(一)數據來源

本實證研究所采用的數據來自Wind資訊金融軟件系統，本文研究的是石化權證石化CWB1(580019)，其標的股票是中國石化(600028)，選取中國石化2006年1月4日到2009年9月30日的收盤價為研究樣本。

石化權證的基本要素見表1:

在股票分紅派息時，股票價格一般會除權下跌，而我們前面也說過了，當股價下跌對權證是不利的。如果股票派息而權證的要素沒有發生變化，則權證價值會下降。而對于目前市場中的權證，其行權價格和行權比例會隨著股票分紅派息而調整，我們可以近似認為股息對權證的價值沒有影響。

(二)數據的處理

對于選取的收盤價樣本，我們取對數收益率。設Pt為第t期的股票價格，Pt-1為第t-1期的股票價格，對數收益率表示為:Rt=1nPt-1nPt-1。對數收益率時序的時序圖見圖1:

由于石化權證的存續期只有兩年，我們以一年期定期存款利率(2.25%)作為無風險利率，將其轉換成連續復利率為1n (1+0.0225)=2.23%。

(三)基于GARCH模型的定價分析

1.收益率序列的正態性檢驗

利用Eviews5.0對中國石化收益率序列進行正態性檢驗，具體結果見圖2:

圖2 石化收益率序列的基本統計資料

圖3

由圖2、表2和圖3可知偏度為-0.045144，表明分布左偏，峰度為4.386575，高于正態分布的峰度3，表明分布比較高聳，說明收益率序列具有尖峰厚尾特征，JB統計量為73.44862，其P值為0.000000，拒絕服從正態分布的假設，且QQ圖不在一條直線上。綜上所述，該序列不服從正態分布。由此看出，本文用GARCH模型來估計波動率存在著合理性。

2.平穩性檢驗

對序列進行分析時，需要保證序列的平穩性，只有在平穩性的前提下，才能有效地對其統計量和性質進行描述。本文利用ADF單位根檢驗對序列進行檢驗。

根據上述輸出結果可知，收益率序列在99%的置信水平上拒絕單位根假設，收益率序列不存在單位根，即該收益率序列平穩。

3.ARCH效應檢驗

檢驗一個回歸模型的殘差εt，是否具有隨時間變化的方差稱為ARCH檢驗。檢驗序列是否存在ARCH效應的最常用的方法是拉格朗日乘數法，即LM檢驗。

Eviews輸出的檢驗結果見下表:

由上表可知:ARCH-LM檢驗結果中LM統計量Obs*R-squared值的P值小于顯著性水平0.05，拒絕原假設，認為殘差存在ARCH效應。

4.利用GARCH(1，1)模型進行波動率估計

建立GARCH(1，1)模型，具體的輸出結果見下表。可知，GARCH(1，1)模型的各項參數在5%的置信水平下都顯著不為零。GARCH效應顯著。 + =0.971468<1，符合平穩性條件。同時對擬合后方程的殘差序列進行自相關性檢驗，發現不存在條件異方差。

5.基于GARCH(1，1)模型的權證定價

本文采用標的股票中國石化2006年1月4日至2009年9月30日的日收益率序列估計GARCH模型的參數，然后應用該模型對標的股票在未來10個交易日里的收益波動率進行預測。

將上述預測參數結果代入GARCH模型公式:

σt2=α0+α1ε2t-1+β1ε2t-1

預測使用的第t期(具體到本文即9月1日)的收益波動率通常應用歷史波動率法計算得到。然后根據上述公式預測下一期的波動率，以此類推。

利用GARCH模型對股票收益波動率進行預測之后，可將預測值代入Black-Scholes公式，從而對股票期權進行定價。

(四)基于HV模型的權證定價

歷史波動性(簡寫為HV)，基本假設是相信過去的波動性會延續到未來，且不會產生大幅變動，因此，用過去資料計算而得的波動性可視為未來的股價波動性。計算歷史波動性時，應先決定觀察的期間及觀察值個數，觀察值的數目越多雖有助于估計值的準確性，但卻不宜使用太舊的資料。本文選擇最近100個交易日的收盤價格，計算歷史波動率。

■t2=■■(r■-■)■，其中，rt=1n(Xt/Xt-1)

注意這里的σt2與B-S模型中的波動率并不等同，需要將其轉化成年化價格波動率。轉化關系:σ=■t■

將計算出的事實波動率代入B-S公式，得出基于歷史波動率的權證理論價格。

計算時需要注意的問題:(1)B-S模型計算時用的無風險利率為連續復利形式，即:r=1n(1+r0)，其中，r0為一年期定期存款利率。本文r0=2.25%，r=2.23%。(2)期權有效期T應折合成年數來表示，即期權有效天數與一年365天的比值。如果期權有效期為t天，則T=t/365。

四、權證定價的實證結果及分析

(一)實證結果

結合以上兩種模型計算出的權證理論價格和實際權證價格對比見表3:

根據表3的數據，得到圖4。

從表3可以看出，權證的市場價格與理論價格的差值均為正值，也就是說，權證實際市場價格要高于由兩個模型計算出來的理論價格。

再從定量的角度來分析定價模型的定價能力。為了驗證上述定價方法的有效性，本文使用平均偏離度(Average Tracking Difference)作為檢驗模型定價有效性的依據。

其計算公式如下:

偏度百分比:ηt=■

其中，X■表示第t期市場價格， X0表示當期理論價格。

用幾何平均數反映平均偏離百分比:η=(■ηt)1/n

通過計算可知，基于GARCH(1，1)模型定價的平均偏離度為: 73.63%

基于歷史波動率的B-S定價平均偏離度為: 84.04%

由圖4看出:GARCH模型計算的權證理論價格顯著優于歷史波動下計算的理論價格，但是同時發現，兩者和市場價格比較，都有著較大的差異，石化權證價格存在明顯的高估現象，存在比較嚴重的市場投機，不利于我國金融衍生產品市場的健康發展。分析產生差異的制度原因對改進和完善我國的資本市場，促進金融衍生品市場的發展具有重要的意義。

(二)結果差異分析

1.雖然采取了和期權一樣的方法對石化權證進行定價，但是，它并不是真正的期權產品，而是由公司所發行的認購權證，在發行量上是有限的，其價格容易因為供求關系而被人為操縱。而真正的期權在發行量上是無限的，即只要有需求，便能以某個價格購買到，就很難被人為操縱。

2.建立模型的假設直接影響到定價結果的準確性。由于我國股市不允許賣空，所以投資者不能有效實施套利。賣空機制的存在客觀上能產生一種“價格發現”機制，促使股票市場的價格接近實際價值，實現股票市場價格的有效性。在缺乏套利機制的市場中，無法通過市場價格偏高的期權進行賣空而同時買入標的股票來實現無風險套利，進而也就無法因為市場中大多數人的不斷賣空而使權證的市場價格回歸到其真實價值上去。

3.在B-S定價模型中，假設股價服從對數正態分布，即其收益來服從正態分布。而對中國石化收益率進行正態檢驗的結果知道，中國石化股票收益率序列顯著異于正態分布。

4.在用波動率的GARCH(1，l)模型對權證進行定價時，為了簡單起見，對模型進行了簡化計算，令公司權益價值的波動率近似等于標的股票的波動率，致使計算結果與市場價格也存在差異。

The empirical test of the petrochemical warrants in the GARCH model

WANG Ya-li，SUN Tao

(Economy and management college， Nanjing aviation and spaceflight university，Nanjing 210016，China)

Abstract: Stock price volatility is characterized by the price of the stock derivatives decisive factor. Black amp; Scholes assume that the stock price follows geometric Brownian motion， its important on the assumption that volatility is a constant. However， an increasing number of empirical research results show that stock returns were significantly spike thick tail phenomenon， its volatility there exists an obvious time-varying characteristics. Therefore， the relaxation of fluctuations in the rate constant conditions， and examine changes in stock volatility characteristics of the warrants the correct pricing of great significance.

Key words:making a price of the warrants;B-S model; GARCH model