反證法在物理教學(xué)中的應(yīng)用

摘要:反證法作為一種分析問題和解決問題的科學(xué)方法，具有嚴(yán)密的邏輯性和強(qiáng)有力的說服力，在教學(xué)中有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生掌握反證法能拓寬他們的思維方式。

關(guān)鍵詞:反證法 摩擦力 彈力 電場(chǎng)線 等勢(shì)面 碰撞 動(dòng)量守恒定律 能量守恒定律

所謂反證法是屬于“間接證明法”的一類，是從反面的角度思考問題的證明方法。它先假設(shè)“結(jié)論”不成立，然后把“結(jié)論”的反面當(dāng)作已知條件，進(jìn)而運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行正確的邏輯推理，得出與題設(shè)或已知的公理、定義、定理相矛盾的結(jié)論，從而說明假設(shè)不成立，即原“結(jié)論”成立。這種先駁倒“結(jié)論”反面，爾后肯定“結(jié)論”本身的證明方法叫做反證法。當(dāng)“結(jié)論”的反面只有一個(gè)時(shí)，這種反證法又叫做歸謬法；當(dāng)“結(jié)論”的反面不只一個(gè)時(shí)，這種反證法又叫窮舉法。反證法的理論依據(jù)是形式邏輯中的兩個(gè)基本規(guī)律——矛盾律和排中律。反證法證明問題的一般程序：①反設(shè)：假定所要證的結(jié)論不成立，而設(shè)結(jié)論的反面（否定命題）成立；（否定結(jié)論）②歸謬：將“反設(shè)”作為條件，由此出發(fā)經(jīng)過正確的推理，導(dǎo)出矛盾——與已知條件、已知的公理、定義、定理及明顯的事實(shí)矛盾或自相矛盾；（推導(dǎo)矛盾）③結(jié)論：因?yàn)橥评碚_，所以產(chǎn)生矛盾的原因在于“反設(shè)”的謬誤。既然結(jié)論的反面不成立，從而肯定了結(jié)論的成立。（結(jié)論成立）

哪些題目適合用反證法呢？從這些條件推出所知的也很少或無法用已知條件進(jìn)行直接證明的。當(dāng)問題中能用來作為推理依據(jù)的公理、定理、很少，無法直接證明或證明無從下手的。結(jié)論以否定的形式出現(xiàn)，無法引用定理來證明否定形式的結(jié)論。對(duì)要證明的命題，已知它的逆命題是正確的。要求證明的命題適合某種條件的結(jié)論唯一存在。以上是與反證法相關(guān)的一些知識(shí)，那么在物理教學(xué)中有些問題的闡明或結(jié)論、定理的證明可用反證法。如應(yīng)用得當(dāng)，反證法同樣具有嚴(yán)密的邏輯性和說服力。特別是有些問題難以從正面論述時(shí)，反證法的應(yīng)用更顯示出它的獨(dú)到之處。

1 應(yīng)用反證法對(duì)物體進(jìn)行受力分析

對(duì)物體作好受力分析是解決力學(xué)問題的關(guān)鍵。做受力分析時(shí)，既不能漏掉一個(gè)力，也不能憑空添加一個(gè)力。一般物體都受重力，而重力的大小和方向與物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)無關(guān)，故判斷重力的問題比較簡單。而彈力、摩擦力卻都跟物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)密切相關(guān)，因?yàn)楸容^復(fù)雜。兩個(gè)物體之間是否存在彈力、摩擦力？如果存在，其力的方向怎樣？這些問題就需要經(jīng)過一番思考才能作出判定。而反證法就是一種思考的方法。

1.1由彈力定義：“兩個(gè)物體直接接觸，又彼此發(fā)生形變時(shí)，它們之間有相互作用的一對(duì)力叫彈力”。這里為了說明“直接接觸”只是產(chǎn)生彈力的必要條件，而不是充分條件。如果只有接觸而無形變，也不產(chǎn)生彈力。

例，如圖1

金屬球分別與光滑的AB面BC面接觸于D、E兩點(diǎn)，而處于靜止?fàn)顟B(tài)分析他們的受力情況。

對(duì)于這道題，一部分學(xué)生認(rèn)為，金屬球受到三個(gè)力的作用：N1、N2、G，如圖2

其實(shí)，N1是不存在的，這從正面闡述是很不容易說清楚的。而通過反證法，就很容易證明。

證明：

假設(shè)：N1這個(gè)力存在。

推論：則的水平分力N1X向右，而金屬球并沒有受到別的力與之水平。即物體所受合外力不為零（F合≠0）。由牛頓第二定律，F(xiàn)合=ma則金屬球必有向右的加速度。

結(jié)論：以上推論跟已知條件：金屬球處于靜止的前提相矛盾，所以假設(shè)不成立，則N1是不存在的力。

1.2 由摩擦力定義：“相互接觸的兩個(gè)物體，在接觸面上發(fā)生阻礙相對(duì)運(yùn)動(dòng)的力叫摩擦力。

為了說明“接觸”只是產(chǎn)生摩擦的必要條件，而不是充分條件。如果只有接觸面沒有相對(duì)運(yùn)動(dòng)（或相對(duì)運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)）就不存在摩擦力。

2 應(yīng)用反證法證明物理結(jié)論

在靜電場(chǎng)一節(jié)知識(shí)中，關(guān)于等勢(shì)面有這樣一條重要性質(zhì)：“電場(chǎng)線與等勢(shì)面處處垂直。”怎樣證明它是正確的呢？這從正面也是不容易闡明清楚的，下面用反證法加以證明。

證明：

假設(shè)：電場(chǎng)線與等勢(shì)面不垂直。即α≠π／2如圖3所示

推論:令檢驗(yàn)電荷q在沿等勢(shì)面上一點(diǎn)p運(yùn)動(dòng)到另一點(diǎn)p’，其位移為△S。

由W=F△Scosα ①

又∵F的方向與該點(diǎn)磁感應(yīng)強(qiáng)度E方向一致，而E與△S夾角α≠π／2，且E≠0（否則p點(diǎn)無電場(chǎng)線可言）

即F與△S的夾角α≠π／2

由①可得W≠0

又由W=q（ψp-ψq）

∵W≠0q≠0

∴ψp≠ψp’結(jié)論，由于ψp≠ψp’，即p點(diǎn)電勢(shì)不等于p’點(diǎn)的電勢(shì)，這就與等勢(shì)面定義相矛盾。

結(jié)論：所以假設(shè)不成立，電場(chǎng)線與等勢(shì)面垂直的。

通過以上事例說明，反證法在物理教學(xué)中的重要性是不可忽略的一種科學(xué)方法。

3 用反證法證明物理現(xiàn)象

例1，如圖4所示，在光滑的水平面上有一輛平板車，一個(gè)人站在這輛平板車，用鐵錘打車的右端。在錘的連續(xù)敲打下，這輛平板車能向左行駛嗎？這個(gè)問題從正面也不好闡述。下面用反證法加以證明。

證明：

假設(shè)：車和人能向左行駛

推論：車和人看成一個(gè)系統(tǒng)，打擊前系統(tǒng)處于靜止總動(dòng)量為零。即P總=0.對(duì)系統(tǒng)而言，錘打擊車為內(nèi)力。而系統(tǒng)所受合外力為零。由動(dòng)量守恒定律可知，打后系統(tǒng)總動(dòng)量也應(yīng)為零。而假設(shè)車和人能向左行駛，證明系統(tǒng)動(dòng)量不為零，即P總≠0，這跟動(dòng)量守恒定律想矛盾。

結(jié)論：故假設(shè)不成立。即車和人不能向左行駛。

例2，如圖5所示，在光滑的水平面上，質(zhì)量為M的小球以速度v0與一個(gè)靜止的質(zhì)量為m的小球發(fā)生正碰。若M≥m，則碰撞后M不可能反彈。

證明：

假設(shè):碰撞后M反彈，其速度的大小為v1，而碰撞后m的速度大小為v2，如圖6所示。取向右為正方向。

推論：根據(jù)動(dòng)量守恒定律得：

由于M≥m，顯然E后＞E前，這違背了能量守恒定律。

結(jié)論：故碰撞后M不可能反彈。

通過以上事例說明，反證法在物理教學(xué)中的重要性是不可忽略的一種科學(xué)方法。

參考文獻(xiàn)：

[1]馬文蔚.《物理學(xué)》高等教育出版社，2003.

[2]趙凱華.《新概念物理教程》[M].北京：高等教育出版社2004.

作者簡介：向敏：男，四川樂山人，1962年3月生，本科，講師，研究方向:物理教學(xué)與研究。