工程造價預測的灰色-卡爾曼濾波模型

摘要:對于工程建設者來說，準確進行工程造價預測決定著投標成敗以及在工程實施過程中能否盈利的關鍵。利用同一公司過去幾年承建同類工程的資料，建立灰色GM(1，1)模型，同時，采用卡爾曼序貫濾波算法減弱數據序列的隨機性。通過實例仿真結果表明，該方法比傳統灰色模型具有更好的預測效果，具有使用價值。

關鍵詞:灰色系統預測 造價 卡爾曼濾波 GM(1，1)模型

0 引言

在工程項目招投標中，對于各投標單位來說，準確預測該工程項目的造價，據此確定標底是決定投標成敗以及在工程實施過程中能否盈利的關鍵。目前各工程單位通常采用的方法是預算部門利用工程法預測出該項工程的造價，該計算方法雖然較為精確，但普遍存在著周期長、速度慢、工作復雜等缺點，通常需要數個工作日才能完成。

當同一家建筑單位同時面臨數個工程項目時，為了在各工程項目中進行權衡，快速算出各工程項目的造價，就顯得尤為重要。而對于同一家建筑單位來說，在許多已建的同類建筑工程項目之間，不同程度地存在某些相似性，因此，本文就是通過利用過去幾年中這些已建的相似工程單方造價為基礎數據，使用卡爾曼序貫濾波進行處理，然后應用灰色系統預測理論建立模型，對擬建工程單方造價進行預測，進而獲得該工程項目的造價預測值，為招投標單位提供一種快速、簡便、準確的參考數據，便于投標單位迅速做出相關決策。

1 模型的建立

1.1 數據處理

在處理工程投資費用數據時，為保證數據預測的準確度，要把各年度的投資費用數據換算到同一基準年度，這就需要考慮物價因素，特別是處理較長時間內的費用數據時，對于物價的考慮更是必不可少。設年物價上漲率為β， A(n)是未來第n年投資的費用，則基準年的費用現值P為:P=(1)

1.2 原始數據的卡爾曼序貫濾波處理

對原始數據序列X(0)=(x(0)(1)，x(0)(2)，L，x(0)(n))

進行一次累加生成，記為1-AGO，得生成序列:

X(1)=(x(1)(1)，x(1)(2)，L，x(1)(n))

其中x(1)(k)=x(0)(i)，(k=1，2，L，n)。

對序列X(1)進行下列運算:(1)(k+1)=(1)(k)+px(1)(k+1)-(1)(k) (2)

式中:(1)(k)和(1)(k+1)為k和k+1點的濾波值;x(1)(k+1)為k+1點的觀測值;x(1)(k+1)-(1)(k)稱為新息序列;序貫濾波增益P是和系統狀態方程和量測方程有關的值，在這里0ppp1。

序貫濾波增益p可由觀測序列和模型的估計序列用以下方法簡單地估計:對已給的p值，置初值(1)(1)=x(1)(1)，可序貫計算整個模型的平均相對誤差，對于不同的P值，重復上述計算，最后挑選使平均相對誤差極小且濾波后的序列滿足級比檢驗的p值。

經過卡爾曼濾波后，可獲得數據序列:

(1)=( (1)(1)，(1)(2)，L，(1)(n))

1.3 灰色GM(1，1)模型

將上述數據列進行累減還原，獲得數據序列:

(0)=( (0)(1)，(0)(2)，L，(0)(n))

計算該數列級比:σ(k)=

進而獲得級比序列σ=(σ(2)，σ(3)，L，σ(n))，檢驗級比σ(k)是否落于可容覆蓋σ(k)∈(e，e)。當σ(k)，k=2，3，L，n均落入可容覆蓋，則該序列可進行GM(1，1)建模。若檢驗不合格，通常處理途經是進行變換:平移變換;對數變換;方根變換，確保處理后的序列級比落在可容覆蓋中。經過處理后的數據序列可建立GM(1，1)模型。

由序列(1)構造背景值序列:

Z(1)=(z(1)(1)，z(1)(2)，L，z(1)(n))

其中，z(1)(k)=a(1)(k)+(1-a)(1)(k-1)，(k=1，2，L，n)，一般取a=0.5

則稱(0)+aZ(1)=b為灰色GM(1，1)模型。

式中:a，b為模型參數，a稱作發展系數，其大小反映了序列(0)的增長速度，b為灰色作用量。灰色微分方程的最小二乘估計參數向量滿足:=(a b)T=(BT B)-1BT Y

灰色GM(1，1)模型的時間響應序列為

(1)(k+1)=(0)(1)-e-ak+(3)

1.4 預測數據序列卡爾曼濾波還原

據卡爾曼濾波的逆過程，預測數據序列還需進行還原:

(4)

則各時間點的預測值為:(0)(k+1)=(1)(k+1)-(1)(k)

1.5 精度檢驗

GM(1，1)模型精度檢驗通常用后驗差方法檢驗。模型精度由均方差比值和小誤差概率共同評定。精度檢驗要求均方差比值越小越好、小誤差概率越大預測模型的精度越高。

其基本方法如下:設x(0)為原始序列，(0)為GM(1，1)模型模擬序列，ε(0)為殘差序列，則:=x(0)(k)，S12(x(0)(k)-)2，=ε(0)(k)，ε(0)(k)=x(0)(k)-(0)(k)，S22=(ε(0)(k)-)2，C=，

式中:為x(0)的均值;S12為x(0)的方差;為殘差ε(0)(k)的均值; S22為殘差方差;C為均方差比值。

根據C=和p=P│e(i)-│p 0.6475S1計算后驗差比值C與小誤差概率p。

2 算例

某棟樓結構設計為框架結構，建筑面積3200m2，某建筑公司欲投標該工程項目，投標前，公司針對該項目作了成本預測分析。收集了2003年度至2009年度該公司承接同類工程資料如表所示。考慮到費用的時間價值，費用數據已折合到基準年(2003年度)。

根據上述模型，首先對2003年度至2009年度單方成本數列進行累加生成，然后進行卡爾曼序貫濾波處理，經過多次代入驗證， p=0.85時，滿足條件。

此時，處理后的序列為(1)(575.0，1101.2，1720.4，2340.5，2982.6，

3662.5，4385.3)

(0)=(575.0，526.2，619.2，620.1，642.1，679.9，722.8)

級比序列σ=(0.915，1.177，1.001，1.035，1.059，1.063)

落于可容覆蓋(0.7788，1.2840)內，通過檢驗。

即可利用該序列建立GM(1，1)模型，可獲得時間響應函數:

(1)(k+1)=9830.4e0.0545k-9255.4

根據該預測模型，可獲得各年度的單方成本數據如下表

根據精度檢驗公式，可知:S1=47.4，S2=18.8，均方差比值C=0.40，小誤差概率p=0.86。則根據模型精度劃分表可知，該模型預測精度為2級，預測精度合格。

由上述模型可知，2010年度該公司承建某項目的單方成本預測值為770.8元/m2，根據公式(1)考慮物價因素，則建筑面積3200m2的該項目的總成本約為253萬元。

3 結論

本文提出的方法充分挖掘了原始數據，工程單位在進行投標前可利用該模型對本單位承建某工程的造價進行預測，能快速、簡便、準確的提供數據，能夠迅速地為決策部門做出相關決策提供參考意見。

參考文獻:

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