注重合情推理教學 培養學生探索能力

《新課程標準》倡導積極主動、勇于探索的學習方式，讓學生體驗數學發現和創造的歷程，發展學生的創新意識。而在教學中培養探索能力的一個有效途徑是讓學生掌握合情推理的能力。合情推理是指運用觀察、實驗、歸納、類比、推廣、限定、猜想等一套自然科學常用的探索式的方式進行推理。合情推理為學生的創造性思維的發揮提供了機會，從一定意義上來說，學生從事合情推理活動時，可以說是在從事類似科學家們的探究發現活動。本文簡述了數學合情推理的作用，并就如何在數學教學中培養學生的合情推理談點淺見。

一、 注意營造一個寬松、良好的可供學生猜想的空間

數學猜想就是“似真推理”，而“證明”只能是證明真理，卻不能發現真理，發現真理靠的是猜測。數學家高斯說過:“沒有大膽而放肆的猜想， 就談不上科學的發現。”

例1已知:f(x)對定義域中的一切x1、x2滿足:f(x1-x2)=，且f(a)=1(a為正常數)，求證:f(x)為周期函數。

觀察題設，直覺判斷與tan(?琢-?茁)=的結構類似。

由于tan=1，且?仔為y=tanx的一個周期，猜想出f(x)的一個周期可能為4a，即猜想需要證:f(x-4a)=f(x)。

這由條件容易推得: f(x-a)==，

f(x-2a)=f[(x-a)-a]====-，

f(x-4a)=f[(x-2a)-2a]=-=f(x)， ∴f(x)的周期為4a。

當然猜想形式的結論也許有錯誤。因此在教學中要適時地對學生進行激勵，以強化學生的探索猜想的熱情，讓學生在猜想過程中培養探索方法和能力，享受到成功的喜悅，或者是領略到挫折的體驗。

二、 經常地引導學生尋找可以類比的合適對象

數學知識是一個完整嚴密的科學體系，因此許多數學結論、方法都具有相關性和相似性。在課堂教學中充分利用這些相關性聯系及相似性，采用類比的方法，可以讓學生自行研究發現許多新的結論和方法。

例如，高二上冊的“簡單的高次不等式”的解法，引導學生類比高一的“一元二次不等式”的“圖像解法”得出“標根法”。又如，在學習了橢圓相關內容后，引導學生將圓的許多美妙的性質，類比聯想到橢圓。再如，在學習“二元均值不等式”:?叟(a，b?綴R+)時，類比推廣“三元均值不等式”:?叟(a，b，c?綴R+) 進一步類比推廣到n元均值不等式?叟(ai，?綴R+，i=1，2，…n)等。

例 2已知球的體積關于半徑的函數V(r)=?仔r3，它的導數V'(x)=4?仔r2恰好是球的表面積，利用類比思想，可以類推出的一個公式是______。

從題目的結論不難得到:圓的面積關于半徑的函數S(r)=?仔r2，它的導數S'(r)=2?仔r恰好是圓周長，重要的是體驗了“低維”與“高維”的類比，通過類比，達到了“舊知”與“新知”的遷移。

三、 鼓勵學生親自觀察和思考，提供直覺思維的機會

觀察作為人的一種有目的、有計劃的高級知覺形式，總是伴隨著比較、分析、抽象和概括等思維活動。觀察力的最可貴之處是從平常的現象中發現不尋常的東西，從表面上貌似無關的東西中發現相似點或因果關系。觀察力是直覺思維的起步器。而數學直覺，簡單地說是指人腦對數學對象(結構及其關系)的某種直接領悟和洞察。

例4如圖1，已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°。

(1) 證明:CC1⊥BD。

(2) 假定CD=2，CC1=，記面為C1BD=?琢，面CBD為 ?茁，求二面角?琢-BD-?茁的平面角的余弦值。

(3)當的值為多少時，能使A1C⊥平面C1BD，請給出證明。

該題如果從一開始考慮一步步的邏輯推證，是有難度的，也是十分麻煩的。若在弄清題意后，整體地直覺地感受它，運用直覺思維，則可比較快的解決。

(1)由條件，憑直覺立即知道，該平行六面體是個對稱的幾何體，對稱平面是CC1和AA1所決定的平面。于是連結C1A1和CA就十分自然了(如圖2)。并且B、D是關于平面A1C的對稱點，當然有BD⊥平面A1C1，立即可知BD⊥C1C 。

(2)由對稱性知要求二面角?琢-BD- ?茁的平面角的余弦值，即要求COS∠C1OC，憑直覺即知三棱錐C-C1BD的形狀大小已定，故∠C1OC已定，條件是充分的，仍由直覺，知C1O、CO分別是等腰△C1BD和等腰△CBD的高，這兩個三角形的三邊知道(已知或可求)，在△C1CO中三邊也知道，即COS∠C1OC可求。

(3)在前面兩小題直覺思維的基礎上，容易直覺得到，由于六面體ABCD-A1B1C1D1是平行六面體，要使得A1C⊥平面C1BD，該有CC1=CB=DB，因此三棱錐應為正三棱錐。再由直覺，想到此時平行六面體的各面是全等菱形，于是C1B1、C1D和DB就相對于A1C的位置而言，地位是等同的，當然有A1C⊥C1BD平面。

上述簡約的邏輯思維過程，使解題獲得了突破性進展。因此，充分運用直覺思維，從整體上感受和把握問題，當直覺判斷認為有把握時，再加以“細化”，即能循規蹈矩地按規范化的要求書寫出解題過程。

四、 “從最簡單的開始”，為歸納、猜想提供一個適當的出發點和立足點

要培養學生的探索能力，就要叫學生掌握“從最簡單的開始”。即當問題的一般情形不易解決時，先考慮其特殊情形，解決后，再向一般形推廣。

例4一元二次方程ax2+bx+c=0的兩根n次方的和為Sn。求證:sn=-(n=3，4，5…)。

證明:設方程兩根為x1，x2，則

x1+x2=-，x1x2=，s1=x1+x2，s2=x+x，

s3=x+x=(x+x)(x1+x2)-x1x2( x1+x2)=s2(-)-s1=-。

由s3的啟示，我們找到了解題的途徑，即可沿著這條途徑由“退”轉為“進”到sn=(x1n-1+x2n-1)(x1+x2)-x1x2(x1n-2+x2n-2)=sn-1(--sn-2=-。

總之，合情推理是科學的探究方法，也是一種有效的探究式教學方法;合情推理和演繹推理，二者相輔相成，在實踐中二者總是交織在一起，是不可分割的。在課堂教學中，讓學生通過觀察、實驗、猜測、驗證、類比、歸納等數學活動來學會、經歷、感受、體驗、探索數學，充分地讓學生經歷“再創造” 的過程，對訓練思維、培養探索能力無疑是十分有益的。

(蘭溪市第六中學)