挖掘三角函數(shù)中隱含條件的常見形式

摘要:在三角函數(shù)的學(xué)習(xí)中，因為不注意一些隱含條件的挖掘，在解題時頻頻出錯，過程和結(jié)論看起來沒有什么問題，而實質(zhì)是錯誤的。挖掘隱含條件，實質(zhì)上就是使題設(shè)條件明朗化、完備化和具體化，從而明確解題方向。本文從三角函數(shù)定義域、值域、三角函數(shù)值、三角運(yùn)算環(huán)節(jié)及三角函數(shù)單調(diào)性、奇偶性所設(shè)置的隱含條件的形式進(jìn)行挖掘剖析，使學(xué)生從中汲取經(jīng)驗，更全面地掌握三角函數(shù)等知識。

關(guān)鍵詞:挖掘;三角函數(shù);隱含條件;常見形式

在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，我發(fā)現(xiàn)學(xué)生在解決某些三角問題時常因疏漏隱含條件致誤，究其原因，并非學(xué)生在解題時不想去挖掘這些條件，而是對哪些問題中可能有什么隱含條件，這些條件在問題中如何設(shè)置等缺乏全面了解，下面特對挖掘三角問題中隱含條件的幾種常見形式進(jìn)行論述。

一、 挖掘用三角函數(shù)定義域所設(shè)置的隱含條件

一般地，函數(shù)的定義域?qū)瘮?shù)性質(zhì)具有潛在作用，三角函數(shù)當(dāng)然也不例外，因此研究三角函數(shù)的性質(zhì)，必須注意到定義域在解題中的作用。

例1求函數(shù)f(x)=的遞增區(qū)間。

錯解:設(shè)t=sinx+cosx，則sinxcosx=，于是有f(x)====sin(x+)-，

由2k?仔-≤x+≤2k?仔+，解得函數(shù)f(x)遞增區(qū)間為2k?仔-，2k?仔+(kZ)。

剖析:上述解法忽略了函數(shù)的定義域，因為題目中分母不能為零，即1+sinx+cosx≠0?圯sinx+≠-1?圯x≠2k?仔-且x≠2k?仔-?仔(kZ)，所以函數(shù)f(x)遞增區(qū)間為2k?仔-，2k?仔-)及(2k?仔-，2k?仔+(kZ)。

二、 挖掘用三角函數(shù)的值域所設(shè)置的隱含條件

給定一個條件等式，在給定函數(shù)值依存關(guān)系的同時，也給定了它們之間的制約關(guān)系，而且這種制約關(guān)系是隱性的，解題時應(yīng)注意挖掘。

例2已知3sin2?琢+2sin2?茁=2sin?琢，求sin2?琢+sin2?茁的取值范圍。

錯解:由已知得sin2?茁= -sin2?琢+sin?琢，

∴sin2?琢+sin2?茁=-sin2?琢+sin?琢=-(sin?琢-1)2+。

∵-1≤sin?琢≤1，

∴sin2?琢+sin2?茁-，。

剖析:很顯然，sin2?琢+sin2?茁最小值不會是負(fù)值。問題出在方程3sin2?琢+2sin2?茁=2sin2?琢中。∵sin2?茁=-sin2?琢+sin?琢且0≤sin2?茁≤1，∴0≤-sin2?琢+sin?琢≤1，即0≤sin?琢≤，∴sin2?琢+sin2?茁的取值范圍是0，。

三、 挖掘用三角函數(shù)值所設(shè)置的隱含條件

三角函數(shù)值求角的大小時，不僅要注意有關(guān)角的范圍，還要結(jié)合有關(guān)角的三角函數(shù)值把角的范圍縮小到盡可能小的范圍內(nèi)，不然容易出錯。

例3已知α，β為銳角，cosα=，sin(α+β)=，求β。

錯解:由α，β為銳角，知0<α+β

又cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinβ=或cosβ=，得β=arccos或β=。

剖析:在上面的解法中，未能就題設(shè)條件進(jìn)一步縮小α+β的范圍，引起增解。我們可以作如下分析:因為sin(α+β)=<，且0<α+β

所以0<α+β<或<α+β

又cosα=<，得<α<。

從而有<α+β

四、 挖掘用三角運(yùn)算環(huán)節(jié)所設(shè)置的隱含條件

對于大多數(shù)三角問題，都必須進(jìn)行變形處理，而這些運(yùn)算環(huán)節(jié)有些是作恒等變形。某些問題正是通過這些環(huán)節(jié)設(shè)置隱含條件，以考查學(xué)生的邏輯思維能力。

例4已知sinα=cosβ;tanα=cotβ(其中0<β

錯解:sin?琢=cos?茁①tan?琢=cos?茁②

①÷②得cosα=sinβ③

①2+③2得1=2cos2β+sin2β=+cos2β

∴cos2β=。∵0<β

把④代入①得sin?琢=±。∵-

綜上所述得cosβ=±，cosα=。

剖析:上面運(yùn)算未考慮等式兩邊等于零的情況就做了除法，因而造成失根。在本題中若cosβ=0時，cosα=0等式同樣成立，所以cosα=1也是本題的另一個解。

五、 挖掘用三角函數(shù)的單調(diào)性所設(shè)置的隱含條件

求一些三角函數(shù)的單調(diào)性區(qū)間時，換元后直接利用函數(shù)的單調(diào)性，采用整體代換，卻忽略復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的求法，也容易出錯。

例5求函數(shù)y=sin(-2x)的單調(diào)增區(qū)間。

錯解:令u=-2x，則y=sinu，

而函數(shù)y=sinu在區(qū)間2k?仔-，2k?仔+(kZ)上遞增，

整體代換得:2k?仔-≤-2x≤2k?仔+(kZ)，

解得:-k?仔-≤x≤-k?仔+(kZ)，

由于k表示的是周期的整數(shù)倍，所以可寫為:k?仔-≤x≤k?仔+(kZ)。即所求的單調(diào)遞增區(qū)間為k?仔-，k?仔+(kZ)。

剖析 :函數(shù)y=sin(-2x)是函數(shù)y=sinu與函數(shù)u=-2x復(fù)合而成的，要全面地根據(jù)內(nèi)、外層函數(shù)的單調(diào)性來確定這個函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。令u=-2x，則內(nèi)函數(shù)u是關(guān)于x的減函數(shù)，那么所求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間即要取外函數(shù)y=sinu的單調(diào)減區(qū)間去求解，即u2k?仔+，2k?仔+)(kZ)，即2k?仔+≤-2x≤2k?仔+(kZ)，解得:-k?仔-≤x≤-k?仔-(kZ)，由于k表示的是周期的整數(shù)倍，所以可寫為:k?仔-≤x≤k?仔-(kZ)，即所求的單調(diào)遞增區(qū)間為k?仔-，k?仔+-()(kZ)。

六、 挖掘用三角函數(shù)的奇偶性設(shè)置隱含條件

判斷函數(shù)的奇偶性時，必須先分析函數(shù)定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間。另外含有運(yùn)算式或不是最簡形式的函數(shù)式，只從形式上或結(jié)構(gòu)上用定義判斷其奇偶性就容易進(jìn)入誤區(qū)。

例6判斷函數(shù)f(x)=的奇偶性。

錯解:∵f(x)===tan，∴f(x)=tan(-)=-tan=-f(x)。即函數(shù)f(x)為奇函數(shù)。

剖析:上面沒有考慮函數(shù)f(x)=的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱，化簡時也沒有考慮sin+cos≠0的要求。

∵1+sinx+cosx≠0，∴sin(x+)≠-1，解得x≠2k?仔-，且x≠2k?仔+?仔，kZ。可見已知函數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以函數(shù)f(x)=為非奇非偶函數(shù)。

總之，在解決三角函數(shù)問題時，我們應(yīng)仔細(xì)審題，由于題中所提供的已知條件往往暗示著一些不太引人注意的信息，而這些信息，只有在解題過程中仔細(xì)分析、合情推理才會發(fā)現(xiàn)。我們?nèi)裟軠?zhǔn)確挖掘這些隱含信息，則能迅速有效地解決問題，否則容易導(dǎo)致多解或錯解，從而直接影響解題結(jié)果。

參考文獻(xiàn):

[1]薛天濤.用三角函數(shù)有界性求值域的兩個誤區(qū)[J].，數(shù)學(xué)大世界，

2004(3).

(汕頭市潮陽職業(yè)技術(shù)學(xué)校)