淺談空間向量在立體幾何中的應用

立體幾何在整個高中階段是較重要的一個內容，在高考中所占比分也較重。立體幾何的解答題一般煩瑣，但利用空間向量來解答立體幾何中常出現的線線、線面的所成角問題，會有意想不到的簡便。下面，我就以近兩年高考出現的立體幾何的解答題加以說明。

(2007全國卷理)如圖1，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為正方形，側棱SD⊥底面ABCD，E，F分別為AB.SC的中點。(1) 證明:DE∥平面SAD。(2) 設SD=2DC，求二面角A-EF-D的大小。

解:以D為坐標原點，射線DC為x軸的正半軸，建立如圖1所示直解坐標D-xyz。(1)取SD的中點為G，ΘF為SC的中點，在△SDC中，∴GF∥DC，GF=DC，又Θ四邊形ABCD為正方形，E為AB的中點，∴ABDC，AE=AB=DC，∴GFAE，∴四邊形AEFG為平行四邊形，∴FG∥AE，又ΘAG?奐面SAD，∴EF∥平面SAD。(2)設DC=a，ΘSD=2DC=2a，則D(0，0，0)、A (0，a，0)、E(，a，0) 、F(，0，a)、(，0，0) 、(，-a，a)、(，a，0)、(，0，a)。設=(x1，y1，z1)是平面AEF的法向量，則:⊥，⊥，故x1=0x1-ay1+az1=0，令y1，則z1=1、x1=0、 =(0，1，1)。設=(x2，y2，z2)是平面EFD的法向量，則⊥，⊥，故x2+ay2=0x2+az2=0，令x2=1則y2=、z2=、=(1，-，-)，∴與所成角等于二面角A-EF-D的平面角的補角。cos<，>==-，∴二面角A-EF-D的大小為arccos。評:關鍵建立適當坐標系，找出各關鍵點所對應的坐標，會求面的法向量此類題即可輕松求解。

(2008年全國卷理)如果正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB=4，點E在CC1上且C1E=3EC，(Ⅰ)證明:A1C⊥平面BED。(Ⅱ)求二面角A1-ED-B的大小。如圖2。

解:以C為坐標原點，射線CD為x軸的正半軸，建立如圖所示直角坐標系C-xyz。依題設C(0，0，0)、D(2，0，0)、B(0，2，0)、E(0，0，1)、A1(2，2，4) 、=(-2，-2，-4)、 =(-2，0，1)、 =(-2，2，0) 、 =(0，2，4)。(Ⅰ)因為#8226;=0，#8226;=0，∴A1C⊥DE、A1C⊥DB，又DE∩DB=D，∴A1C⊥平面DBE。(Ⅱ)設向量=(x，y，z)是平面DA1E的法向量，則⊥，⊥，故-2x+z=02y+4z=0，令z=1，則x=，y=-2，∴=(，-2，1)。又Θ⊥平面DBE，∴與所成角等于二面角A1-DE-B的平面角的補角，cos<，==-，∴二面角A1-DE-B的大小為arccos。注:建立適當的空間坐標系，找出各直線相應向量段的坐標，會求面的法向量，線面，面面所成角即可輕松求得。

綜上所述，只要建立適當的空間坐標系，求出相應點的坐標，利用空間向量，可輕松解決線線垂直、線線所成角的問題，只要會求面的法向量，即可輕松求得線面平行、垂直、所成角等各種問題。省掉了過去要作很多條輔助線的麻煩，方法簡單易掌握。由2007年、2008年兩年高考題也可以看出用空間向量解立體幾何題也是今后解題的一種趨勢。

(拉薩市第二高級中學)