概念圖的繪制及其在數學教學中的應用

摘要:概念圖是用來組織和表征知識的工具，本文簡述了概念圖的內涵和結構，給出繪制概念圖的常用步驟，并將其應用到教學實踐中，為概念圖的教學提供了有意義的指導。

關鍵詞:概念圖;數學教學;繪制及應用

《基礎教育課程改革綱要(試行)》提出要改革學生的學習方式和教師的教學方式，注重培養學生的獨立性和自主性。數學知識體系中概念之間有著嚴格的邏輯關系，因此掌握數學知識不僅要了解與解決問題相關的知識，更要理解數學概念、問題、內容之間的網狀式關系。現代認知主義學習理論和建構主義學習理論都為概念圖的教學提供理論支持。它被譽為構建教育新模式的信息技術和頭腦科學，也為概念圖的合理性和無比廣闊的應用前景提供了大量的事實說明。這些研究表明，概念圖的應用對于數學教育有著極其重要的作用，并且將在未來受到越來越多的重視。

概念圖最早是在19 世紀60 年代由美國康乃爾大學教育系的諾瓦克教授提出的。諾瓦克根據奧蘇伯爾的概念同化理論開發了概念圖這樣一種認知工具，試圖將傳統教學導致的機械學習轉變為有意義學習。諾瓦克在實際應用概念同化理論的過程中，開發了有助于人的高級學習以及相應的教學設計的認知工具，克服了概念同化理論的靜態性，揭示出概念同化動態發展過程的真實性和復雜性。諾瓦克的研究豐富、發展了奧蘇伯爾的概念同化理論。概念圖對于幫助學生建立系統完整的知識框架體系非常有效，教師可以通過學生所編制概念圖的過程來改正他們在學習中可能存在的誤解或錯誤觀點。另外，概念圖的構建與數學知識體系特點以及人們的邏輯思維能力能很好地結合起來，因而能在數學教學中發揮獨特的作用。

一、概念圖的內涵及結構

1.概念圖的內涵

概念圖是用來組織與表征知識的工具，它通常是將有關某一主題不同級別的概念或命題置于方框或圓圈中，再以各種連線將相關的概念和命題連接，連線上標明兩個概念之間的意義關系，這樣就形成了關于該主題的概念或命題網絡以此形象化的方式表征學習者的知識結構及對某一主題的理解。

2.概念圖的結構

概念圖由3部分組成:節點、連線、連接語詞。節點表示概念;連線表示兩個概念之間的意義聯系，并用箭頭符號指示方向;連接語詞是用來標注連線的，描述兩個概念間的關系。連線被貼上了標簽，被貼上標簽的連線解釋了節點之間的關系，箭頭描繪出關系的方向。由于數學概念本身具有對偶性，因此數學概念之間的關系可能是對象與對象、對象與過程、過程與過程等之間的復雜關系，也難免牽涉到與運算之間和圖形之間的關系等，它們不是簡單的字句所能代表的，因此節點可能會以數學式或圖形的形式出現。不僅如此，數學的抽象更以關系為對象，進一步探討關系的關系，因此節點會出現命題。為此，對于數學概念來說，可以以較寬泛的意義來看待概念圖，允許學習者以數學式、圖形、命題等作為節點來表征知識。

3.概念圖繪制的主要步驟

①選取制作概念圖的領域。挑選并閱讀課本中關于某個主題的章節，標出重要概念和重要理論觀點。概念圖的制作必須依賴上下級之間的關系，所以制作概念圖的領域必須是制作者所熟悉的，或是其想要了解掌握的某種系統的內容。可以是一個單元，一類知識點，或者一個主題。

②選取出這個系統之中最為關鍵的核心概念。把其他的概念羅列出來，按序排列，使所有的概念看起來條理分明，易于下一步的制作。

③調整概念之間的順序。可以把各條概念寫在卡片上，確認理解主題所必要的關鍵概念，并將其列成清單。把含義最廣、最有包容性、最抽象的概念作為關鍵概念，放在頂端。從關鍵概念開始，把所有列出的概念從大到小、從一般到具體進行分類排序。在這一過程中，可繼續增加更多的概念，將最具體的概念放在最底層。用計算機制圖等方法列出概念。

④概念層級之間的連接。用連線把相關的概念連接起來，尋找概念圖不同部分概念之間交叉連線的聯結，并標明連接線。將概念連接起來是畫概念圖最重要的一部分，常用于描述關系的連接詞有“由……組成”、“包括”、“取決于”、“受……影響”、“引起”、“由……造成”等等。當把概念連接起來后，就要用箭頭表示概念間的關系。并非所有的連接都是單向的，還有相互依賴的雙向連接。有時，有的連接可能是間接的，即通過另一概念相連，這種關系最好用交叉連接表示。但一個概念下最好不要有超過三個以上的連線。這樣概念之間就形成了網絡結構。

⑤對概念的進一步詮釋。在概念圖旁可以寫出關于某個概念的典型例子。這樣能加強學生對概念圖的理解記憶。

⑥總結反思。初步制作完概念圖后，根據運用過程中的經驗體會從整體上對畫好的概念圖進行反思，并不斷修正、充實。

二、數學概念圖的教學及案例研究

制作一個完整且合理的概念圖， 除了要讓學生掌握基本的制圖方法外，更重要的是要引導學生探究發現各概念之間的內在聯系，以及概念之間的邏輯關系和層級關系。在指導學生制圖的過程中，務必堅持“由扶到放， 循序漸進”的原則。可師生討論， 制圖時由“師為主， 生為輔”過渡到“生為主， 師為輔”直至“生獨立制圖”;或可小組交流討論合作制圖;或可教師提供留有空間較少的基圖，讓學生填空， 逐步過渡到教師提供留有空間較大的基圖，讓學生補充;亦可由教師提供包含部分錯誤的完整概念圖， 讓學生改錯。

有一些學生不能順利地制作概念圖，不同學生制作的概念圖也有不同。學生在概念圖的學習中存在著很大差異。學生不能順利地制作概念圖主要是因為他們不能在有限的時間內發現概念間的聯系。要解決這個問題，教師應根據學生學習水平的差異，適時變換教學策略，增強教學針對性。比如針對中等水平的學生或當學生進步后，教師可以呈現留有部分空格的概念圖，學生的水平越高，空格就越多，需要連接的概念就越多。針對高水平的學生，教師可以不提供任何暗示。又如，教師可以呈現包含部分錯誤的完整概念圖，學生在改錯中學習知識，避免了學生自己構圖帶來的認知負擔。而學生要發現和改正概念圖中的錯誤，就必須認真分析整個概念圖，思考哪兒有錯這避免了直接呈現“標準”概念圖帶來的被動學習。

合理選用概念構圖的時機。盡管概念圖有其獨特的教學功能，但并不是所有的課都適合運用的。要視教學內容合理選用。構圖的時間可選在課前、課中或課后，形式可以是教師提供、師生共構、小組合作或獨立完成。

(1)課前。即在上課之前先讓學生自己預習下一節課要上的內容，并根據自己對知識的理解，畫出概念圖，然后在課上交流、評議。課后每個同學再對自己的概念圖進行修正、補充。由于學生在課前已經進行了“預習”，因此上課就能做到心中有數，課后通過對概念圖的進一步完善，輻射面就更廣闊了。

(2)課中。在上課的過程中，教師可一邊組織學生學習，一邊按教學進程在黑板上畫出概念圖。也可先引導學生回憶本節課要講的相關知識點，再讓學生以小組合作的形式進行概念構圖，充分發揮學生集體的智慧。

(3)課后。教師先組織學生對相關知識進行學習，課后讓學生對所學的內容進行梳理，畫出概念圖。這種形式便于教師及時了解學生的學習情況，以便確定下一步要努力的方向。

下面是概念圖在高中數學教學中應用的例子。

首先用幻燈片的形式向學生介紹概念圖的含義、作用以及概念圖的編制方法和操作程序，然后由學生閱讀教師繪制的概念圖，目的是讓他們初步了解概念圖的特征，以及模仿制作概念圖，為接下來讓學生自己繪制概念圖打下基礎。在學生充分理解了概念圖的意義之后，就讓他們在教師的指導下，根據學習內容嘗試概念圖的繪制。圖一是一位學生第一次繪制的概念圖。初次接觸概念圖，學生繪制的概念圖大多非常簡單。在準備繪制概念圖的過程中，學生思考了這個領域中關鍵的概念以及概念之間的關系等問題。也就是說，創建概念圖幫助學生經歷了整理資料、整合知識、整理思路、表現知識、修正與完善這樣一個反思的過程，學生的思維得到訓練與發展。概念圖的繪制過程就是學生梳理知識結構的過程。

隨后，讓四個同學一組進行小組討論，學生個體的概念圖反映的是學生自身對學習內容的理解，而通過小組討論既可以相互觀摩，不僅能使各自的認識得到完善與拓展，還可以培養學生的團體協作的精神。可以說通過對概念圖的不斷修改不僅有助于學生優化他們的思考過程，促進他們更深層次的思考，而且能提高學生的發散思維能力、鑒別能力和學習能力。圖二是一個小組討論后的概念圖。從圖形中也可以看見同學的進步。

最后一個環節則是進行全班討論，展示小組制作的概念圖，由小組成員講述他們的想法，讓其他同學進行質疑、補充，在這樣不斷的討論的過程中，學生積極參與教學活動，不僅學會反思自己的學習過程，也使知識內化，為以后在解決問題的過程中有效地提取和應用這些知識打下基礎。實踐表明，學生繪制概念圖能夠激發他們的學習興趣，促進他們積極思考，加強對知識的理解。從這個圖形中也明顯可以看出學生的進步，另外在課后學生都表示以往采用文字進行記錄總是看了前面忘了后面，看完后也不知道自己到底了解了多少，而通過繪制的概念圖， 再看書就很容易看出自己的缺陷，而且通過小組討論，跟同學交換概念圖觀摩，能受到很多的啟發。這樣， 經過一段時間的訓練，學習效果將會大大增強。

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(責任編輯武之華)