找出中學數學中的思想來

基礎數學中蘊涵著一些具有奠基性作用的數學思想。它是在數學的發展過程中逐漸形成的，并對數學理論的建立和完善產生過深遠的影響。深刻領會數學思想，對于數學的學習和研究具有重大的意義。下面我談談自己在幾年數學教學研究中對數學思想的認識。

一、集合思想

集合是具有共同屬性的一些事物的整體。集合論是近代數學的最基本的理論。運用集合論來解決數學問題的思想就是集合思想。在中學數學中，不等式的解集就是滿足不等式的所有實數的集合。解方程組和不等式組運用了交集的概念，作加法可以說是運用了并集的概念，將有理數或實數進行分類，實際上運用了子集的概念。初中數學的不少章節都蘊涵著集合思想，集合思想已成為數學思想的基石，在數學教學中要認真領會和運用。

二、對應思想

對應思想本質上反映了兩個集合的元素與元素之間的某種對應關系，當兩個集合建立了某種對應時，這兩個集合的元素和元素就發生了某種對應關系，運用兩個集合元素之間的對應關系來處理數學問題的思想就是對應思想。在初中數學中，數軸上的點與實數有一一對應關系，坐標平面內的點與有序實數對具有一一對應關系，函數自變量與因變量之間具有對應關系，這都是運用了對應思想。

三、函數與方程思想

函數描述了自然界中量與量之間的某種依存關系，反映了一事物隨另一事物的變化而變化的客觀規律。在解決某些數學問題時，常常要抽象出問題的數學特征，建立一個恰當的函數關系，再利用該函數的性質來達到解決問題的目的。這種通過建立函數關系，并運用函數性質來解決數學問題的思想就是函數思想。集合思想是函數思想的基礎，對應思想是函數思想的本質。方程是含有未知數和已知數的等式，任何一個聯系生產和生活的數學問題，都有已知和未知兩種情況，把已知和未知間的關系通過方程表達出來，再利用解方程的方法求得未知，這就是方程思想。方程是初中代數的核心，而函數是高中代數的主要組成部分，方程問題也可用函數思想去解決，而許多函數問題也可用方程的思想去解決。

四、數形結合思想

數學是研究現實世界的數量關系和空間形式的科學。數和形本來就具有密切的聯系，數量關系常常有它的幾何意義，幾何圖形的大小和形狀常用數量和數學關系來表示。因此，我們在研究數量關系時往往聯系到圖形，在研究圖形時，常常將其數量化，使數量關系和對應的圖形結合起來，這就是數形結合思想。數形結合思想應用廣泛，并對數學的發展產生了巨大的作用和深遠的影響。笛卡爾發明坐標系這一數學工具，運用代數方法研究幾何圖形，使問題變得直觀，特點變得鮮明突出，從而易于找到解法。因此，數形結合思想為數學問題的解決開辟了一條新的途徑。

五、分類思想

當一個數學問題難以解決時，有時可按照某一標準把這個問題分成若干種不同的情況，然后對每種情況分別進行討論，這種解決數學問題的思想就是分類思想。運用分類思想處理數學問題時要注意兩點:一是不能遺漏;二是不能重復。分類思想在數學中的應用是很廣泛的，對解決某些問題具有顯著的作用。在概念教學中，為了明確概念的外延，常常要運用分類思想對概念進行分類，比如對三角形、四邊形、多邊形、方程、函數進行分類;在平面幾何中研究直線和直線、點與圓、直線與圓、圓與圓的位置關系時，運用了分類思想;在研究函數時分成一次函數、二次函數、指數函數、對數函數等，進行分類研究。總之，在解決數學問題時，常常要用到分類思想。

六、統計思想

利用樣本的特征來估計總體的特征，從局部的性質來估計整體的性質，通過對數據的描述和整理尋找規律，從偶然中尋找必然，從現象中尋找本質，這種處理數學問題的思想就是抽樣統計思想，簡稱統計思想。運用統計思想來處理問題，關鍵是抽樣的科學性，即樣本的代表性。這種思想在科技領域、工農業生產、質量檢驗以及教育評估等各個方面都具有廣泛的實際應用。

七、轉化思想

客觀事物總是在不斷變化的，并在一定條件下相互轉化，反映在數學上，就是轉化思想。轉化思想是數學思想的核心，其內涵十分豐富。高維向低維轉化、復雜向簡單轉化、抽象向直觀轉化、多元向一元轉化、高次向低次轉化、未知向已知轉化、數與形的轉化、一般與特殊的轉化，在數學中無時不有、無處不在。轉化思想貫穿于各級各類教材的始終，貫穿于解題過程中，是最重要、應用最廣泛的數學思想之一。

運用集合思想、對應思想、函數與方程思想、數形結合思想、分類思想、統計思想、轉化思想，去處理問題，其目的是完成復雜向簡單、抽象向直觀、未知向已知的轉化。同時，從學習的認知結構理論可知，數學學習的過程是認知的過程，其實質是數學認知結構發展變化的過程，我們所說的轉化思想是數學思想的核心和靈魂。

這些基本的數學思想相互聯系，形成了統一的數學思想體系。它對認知結構的發展起著重要的作用，是把知識轉化為能力的橋梁。由于它比數學知識更抽象、更概括，學生難以從教材中獨立獲取，因而，教師對數學思想的教學應予以高度重視，使學生在教師的引導下逐步感受、領悟、理解并掌握數學思想。