概率在生活中的幾個典型問題

概率論是研究現實世界隨機現象數量規律的一門科學，其思維方法獨特。概率論不僅是當代科學的重要數學基礎之一，而且還是當代社會和人類日常生活最重要的知識之一。正如十九世紀著名數學家拉普拉斯所說，“對于生活中的大部分最重要的問題，實際上只是概率問題，你可以說幾乎我們所掌握的所有知識都是不確定的，只有一小部分我們能確定，甚至數學科學本身，歸納法、類推法和發現真理的首要手段都是建立在概率論的基礎之上的。因此，整個的人類知識系統是與這一理論相聯系的?！?的確，我們只要瀏覽一下當今的報紙，看一看電視，就會發現在某種程度上概率統計的語言已經成為人類生活中重要的一部分。然而，饒有趣味的是，這門被拉普拉斯稱為“人類知識的最重要的一部分”的數學，卻直接地起源于一種相當獨特的人類行為的探索——人們對于機會性游戲的研究思考。所謂機會性游戲，就是靠運氣取勝。隨機事件與概率是概率論中最重要和最基本的概念，只有正確地理解和真正掌握，才能學好概率論。在自然界及各種社會活動中，人們所觀察到的現象大致可分為兩類：一類稱為確定性現象，另一類稱為隨機現象。我們把在一定的條件下必然發生或必然不發生的現象稱為確定性現象。例如，從10件產品(其中2件是次品，8件是正品)中，任意地抽取3件進行檢驗，這3件產品絕不會全是次品；向上拋擲一枚硬幣必然下落，等等。這類現象的一個共同點是事先可以斷定其結果。我們把在一定的條件下，具有多種可能發生的結果的現象稱為隨機現象。例如，從10件產品(其中2件是次品，8件是正品)中，任取1件出來，可能是正品，也可能是次品；向上拋擲一枚硬幣，落下以后可能是正面朝上，也可能是反面朝上；將要出生的嬰兒可能是男性，也可能是女性。這類現象的一個共同點是事先不能預知多種可能結果中究竟出現哪一種。本文主要是對隨機事件和概率的一些容易混淆的概念進行辨析，探討生活中與概率相關的一些例子。

一、 抽獎問題

例如：如果有5張可當場兌獎的彩票，其中2張是有獎的。有甲、乙、丙、丁、戊5人依次各抽一張彩票，甲中獎的概率為。當已知甲中獎，乙再去抽獎，則乙的中獎概率，乙似乎吃虧了；當已知甲沒有中獎，乙再去抽獎的中獎概率，乙似乎又占便宜了，你認為這樣公平嗎?解：這樣的抽獎方案是公平的。因為這里的和分別是在已知甲中獎和甲沒有中獎的情況下，乙中獎的條件概率，都不能算是這個抽獎方案中乙中獎的概率。因為甲中獎的概率是，故出現“乙中獎概率為”這件事的概率是；同樣，甲不中獎的概率為是，故出現“乙中獎概率為”這件事的概率是，而“甲中獎”和“甲不中獎”是互斥事件。按互斥事件的和的概率計算方法可知，這個抽獎方案中乙中獎的概率應為。由此可見，這個抽獎方案，每個人中獎概率都是一樣的，與抽獎的次序無關，無論先抽還是后抽，對每個人都是公平的。

二、 體育運動的概率問題

例如： 在斯諾克臺球比賽中，我國運動員丁俊暉與國外運動員奧沙利文相遇，根據實際排名和以往的戰績統計，每賽一局丁俊暉勝的概率為0.45，奧沙利文勝的概率為0.55。若比賽既可采用三局兩勝制，也可以采用五局三勝制，問采用哪種賽制對丁俊暉更有利? 分析： （1）采用三局兩勝制：設A1表示丁俊暉勝前兩局，A2表示前兩局中二人各勝一局，第三局丁俊暉勝，A表示丁俊暉勝，則A=A1∪A2，而P=（A1）=0.452=0.2025，P=（A2）=(0452×0.55)×2=0.22275。由于A1與A2互斥，由加法公式得: P（A）=P（A1∪A2）=P（A1）+P（A2）=0.2025+0.22275=0.42525。（2）采用五局三勝制：設Ｂ表示丁俊暉勝，Ｂ１表示前三局丁俊暉勝，Ｂ２表示前三局中丁俊暉勝兩局，奧沙利文勝一局，第四局丁俊暉勝，Ｂ３表示前四局兩人各勝兩局，第五局丁俊暉勝，則Ｂ＝Ｂ１∪Ｂ２∪Ｂ3 ，而Ｐ（Ｂ１）=

0.453=0.091125，P（Ｂ2）=C23×0.452×0.55

×0.45=0.150356，P（Ｂ3）=C24×0.452×

0.552×0.45=0.165392。所以P（B）=

P（Ｂ１∪Ｂ2∪Ｂ3）=P（Ｂ１）+P（Ｂ2）+P（Ｂ3）

=0.091125+0.150356+0.165392=0.4069.由于P（B）45，奧沙利文勝的概率為0.55，所以“五局三勝制”更公平、更合理。在實際比賽中，采用的是十九局十局勝制，更為公平、合理，結果是丁俊暉輸了（斯諾克大師賽中的比賽結果）。如果采用三局兩勝制，丁俊暉就有可能戰勝奧沙利文。

三、 湖中的魚的數量

例如：生活在湖邊的漁民想方便而且快速地知道湖中有多少魚。他們用什么方法呢?漁民常用一種稱為“標記后再捕”的方法。先從湖中隨意捕捉些魚上來，比如捕到1000條魚，在每一條魚的身上作記號后又放回湖中。隔一段時間，，又從湖中隨意地捕捉一些魚。如果第二次捕到200條魚，其中僅有10條魚有記號，那么你能預測該湖中的魚有多少條嗎？解：假設湖中的魚的分布是均勻的，200條魚中有10條有記號的，那么，每條有記號的魚被捕到的概率是若湖中有條魚，其中1000條魚是有記號的，則每條有記號的魚被捕到的概率則n=2000，由此可預測該湖中大約有20000條魚。事實上，湖中魚的分布不可能非常均勻，因此漁民們常常重復這種方法多次，然后取所有這些結果的平均數，即可得到比較精確的預測。

四、 出租車肇事情況

例如：深夜，一輛出租車被牽扯進一起交通事故，某市有兩家出租車公司，分別是紅色出租車公司和藍色出租車公司，其中藍色出租車公司和紅色出租車公司分別占整個城市出租車的85%和15%.據現場目擊證人說，事故現場的出租車是紅色的。經測試證人的辨別能力，測得他辨認的正確率為80%.于是，警察就認定紅色出租車具有較大肇事嫌疑。請問，警察認定對紅色出租車公平嗎？解：設該城市有出租車1000輛，那么依題意可得信息如表1。從表中可以看出，當證人說出租車是紅色且它確實是紅色的概0.41;而它是藍色的概率為.59.在這種情況下，以證人的證詞為推斷的依據，對紅色出租車公司顯然不公平。

概率論不僅為人們研究科學和社會問題提供了有效和方法，更改變了人們看待世界的角度。這個世界不是絕對必然的，它充斥著大量的偶然性，所謂規律也只是在相當程度上被我們所接受和信任的命題而已。運用概率，我們就可以避免由歸納法和決定論帶來的許多問題和爭論。我們應該清楚一點：概率不可能由一個事件的發生而產生出來。在整個概率歷史中，某個事件具有重要的意義，但不能認為，概率論就是由于這一事件的出現才誕生的，它是由于大量的隨機事件產生概率從而就有了概率論這門學科。所以說，在概率論中最重要的是隨機事件與概率，它們是緊密聯系的一個整體。學好概率論最基本的就是正確理解隨機事件與概率中的一些概念和能夠靈活地運用到生活中。本文雖然對概率論中的一些概念進行了類比分析，但是并不能把它們徹底地分析透徹，所以說概率論中的許多知識都有待我們去探索研究。

（邳州市新河中學）